Открытый урок решение рациональных неравенств. Тема: Рациональные неравенства и их системы

Методическая разработка

урока алгебры в 9 классе (2).

Учитель Р.И.Маслюк

Тема: Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов

Цели:

Закрепить навыки решения квадратных неравенств

Сформировать умения решать дробно-рациональных неравенства методом интервалов.

Сформировать понятие множества решений; выработать у учащихся культуру оформления геометрической интерпретации к решению неравенств.

Актуализировать знания о методах решения квадратичных неравенств, основанных на наглядно-геометрических интерпретациях;

Выработать умения самостоятельно применять знания в комплексе в новых условиях.

Задачи:

Образовательные : углубленное изучение темы на основе имеющихся знаний, закрепление практических умений и навыков решений задач повышенной сложности в результате самостоятельной работы учащихся и лекционно-консультативной деятельности наиболее подготовленных из них.

Развивающие : развитие познавательного интереса, самостоятельности мышления, памяти, инициативы учащихся через использование коммуникативно - деятельностной методики и элементов проблемного обучения.

Воспитательные : формирование коммуникативных умений, культуры общения, сотрудничества.

Методы проведения:

Лекция с элементами беседы и проблемного обучения;

Лекционно-консультативная деятельность группы учащихся, имеющих высокий уровень мастерства в решении задач повышенной сложности;

Самостоятельная работа учащихся;

Выработка культуры оформления решения квадратичных неравенств.

Ключевые компетенции:

Информационно-познавательные: умение работать с конспектом, умение слушать решение, представляемое одноклассником, выбирать в решении главное, делать выводы и обобщать.

Коммуникативные: умение вести диалог, доказывать свою точку зрения.

Предметные: умение исследовать квадратичную функцию на отрезке, используя знакопостоянство функции на определенном интервале; использовать графо-аналитический метод в решении уравнений и неравенств.

К моменту проведения урока учащиеся должны уметь:

С помощью числовой прямой находить пересечение и объединение числовых множеств

Используя формулу дискриминанта и теорему Виета находить корни квадратного трехчлена

Преобразовывать квадратный трехчлен в произведение линейных множителей

Ход урока

Оргмомент.

Проверка знаний:

1) Проверка домашнего задания №№ 333;334;(сверка ответов с обсуждением моментов,вызвавших затруднения при выполнении домашнего задания)

2) Актуализация опорных знаний .

Устная работа

(слайды) с обсуждением и геометрической интерпретацией на доске:

Да

Нет

Да

Нет

Разложить на множители

Решить неравенство

Найти решение неравенства

Ответы: 1) (х+3) 2 ;2) (-∞;-3) U (-3;+ ∞); 3)(-∞;-1) U (1;+ ∞);4)(0;2);5)(-4;-2)

3. Мотивация применения алгоритма решения

дробно-рациональных неравенств.

Решение дробно-рациональных неравенств

Ответы

а)

(-∞ ;-3)U(5;+∞)

б)

(-∞ ;-4)U(-1; 1)U

в) x

(-2;1]

2) а) x

(-∞;-2)U U (2;+ ∞)

б) x

(-∞;-1]U (0;+1]U (2;+ ∞)

в)

[-4 ;-2)U (1 ;3 ]

3) а)

[-3;-1) U U U(-2 ;1)U U (2 ;+ ∞)

в)

(-∞;-8)U(-1 ;8)U (8 ;+ ∞)

г)

(-∞;-2]U(-1 ;2]U (3 ;+ ∞)

Работа в группах проводится по уровням. Каждая группа защищает свое решение у доски. Остальные группы выступают как оппоненты. Оценки за работу выставляются коллегиально путем голосования.

Обобщение темы

Решение неравенств и систем неравенств методом интервалов.

С кем тебе было интересно работать в паре?

За что бы ты себя похвалил на уроке?

Что тебе понравилось на уроке больше всего?

Кого бы хотели поблагодарить за урок?

Домашнее заданиеГлава III ,пункт 6

I уровень- №№334(а, в),339(а)

II уровень- №№335,339(б)

III уровень- №№ 336, 339,379

Учитель математики, СОШ № 23, г. Астрахань

Новакова С.А.

ТЕМА УРОКА: РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

9 класс

Цель урока: закрепить и углубить знания учащихся в процессе решения различных упражнений по заданной теме; содействовать развитию взаимовыручки и взаимопомощи, умению вести культурную дискуссию.

Задачи урока :

закрепить умение решать рациональные неравенства методом интервалов; рассмотреть различного уровня сложности рациональные неравенства; проверить умение учащихся решать рациональные неравенства;
создать условия для развития умений и навыков применять знания в новых ситуациях; для развития качеств мышления: гибкости, целенаправленности, рациональности, критичности с учетом индивидуальных особенностей.

Тип урока : обобщающий урок; закрепления и совершенствования знаний и умений.

Формы организации деятельности на уроке:

фронтальная
индивидуальная
коллективная

Структура урока:

организационный момент;
мотивационная беседа;
актуализация знаний;
индивидуальная или коллективная работа с заданиями;
подведение итогов.

Методы:

словесные;
наглядные;
практические.

Оборудование:

компьютеры;
мультимедийный проектор;
персональные карточки.

Прогнозируемый результат: закрепление умений и навыков решения рациональных неравенств; формирование умения планировать свою работу; достижение каждым учащимся того уровня умений и навыков, который ему необходим:

I уровень - решать простейшие рациональные неравенства; решать неравенства по заданному алгоритму;

II уровень - решать рациональные неравенства, самостоятельно выбирая метод решения;

III уровень - применять полученные знания в нестандартной ситуации.

ХОД УРОКА.

Организация. Постановка задач.
Актуализация опорных знаний. Устные упражнения. (Слайд 2-4)

1) Равносильны ли следующие неравенства?

а) и (нет)

б) и (да)

2) Определите метод решения уравнения:

3) Определите ход решения неравенства:

б) ﴾2х 2 +11х+6)﴾2х 2 +11х+13)

Повторить алгоритм решения рационального неравенства методом интервалов: (Слайд 5)

В каждом множителе коэффициент при старшей степени переменной должен быть положительный, для этого надо вынести минус из всех множителей, в которых коэффициент при старшей степени отрицательный, и если перед выражением все же остался знак минус, то надо все неравенство умножить на (-1).

Получим корни числителя и точки разрыва знаменателя .

На числовой прямой отложим все полученные значения и проведем кривую знаков.

Решение заданий. (Слайд 6, 7)

1. Решите неравенство .

Ответ:

2. Решите неравенство .
Ответ:

3. Найдите разность между целыми наибольшим и наименьшим решениями неравенства

Ответ: 4.

4. Решите неравенство .
Ответ:

5. Найдите произведение наибольшего целого отрицательного и наименьшего целого положительного решения неравенства

Ответ: -42.

6. Найдите наименьшее целое решение неравенства .

7. Сколько простых чисел являются решениями неравенства ?

Ответ: 1.

Персональные карточки для проверочных работ.

Карточка № 1.

1. Решить неравенство:

≤ .

а) [-4; -2) ∪ (0;5],

б) (–1, 0] ∪ ,

г) нет решений.

2. Найти наибольшее целое х, удовлетворяющие неравенству:

- > 1.

а) х ∈ (- ∞ ; -3,5),

Б) –3,

в) –4,

г) нет решений.

Карточка № 2.

1. Найти наибольшее целое х, удовлетворяющие неравенству:

- > -.

а)5,

б) –3,

в) 4,

г)нет решений.

2. Решить неравенство:

а) (-9; -5) ∪ (0; 8),

Б) (–8, -7) ∪ (1;3),

В) (- ∞ ; -7) ∪ (1; 3),

Г) нет решений.

Карточка № 3.

1. Решить неравенство:

а) (- ∞ ; -3) ∪ (0; 3,

Б) (–3, 0) ∪ (0; ∞ ),

В) (5; 7),

Г) нет решений.

2. Найти целочисленные решения неравенств:

а) 0, 1, 2,

Б) 4, 5,

В) 7,

Г)нет решений.

Карточка № 4.

1. Решить неравенство:

а) (- ∞ ; -3/25) ∪ (0; ∞ ),

б) (–12, 0) ∪ (7;9),

В) (- ∞ ;) ∪ (; 5),

Г) нет решений.

2. Найти сумму целых решений неравенства

а) 2,

б) 4,

в) 0,

г) 1,

д) 3.

Подведение итогов.

В ходе урока учащиеся закрепили умение решать рациональные неравенства, рассмотрели решение рациональных неравенств различного уровня сложности. Учащиеся на практике показали умение применять метод интервалов при решении рациональных неравенств. Особое внимание следует уделить решению нестрогих рациональных неравенств.

Домашнее задание. (Слайд 8)

1. Найдите наименьшее целое отрицательное решение неравенства

2. Решите неравенство .
3. Найдите сумму наибольшего и наименьшего целых решений неравенства

Список используемой литературы :

Алгебра: Учеб. Для 9 кл. общеобразоват. учрежденпий./ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2003. – 255 с.
Алгебра 8 класс. Задания для обучения и развития учащихся./ Беленкова Е.Ю., Лебединцева Е.А. – М.: Интеллект – центр, 2003. – 176 с.
«Малое ЕГЭ» по математике: 9 класс: Подготовка учащихся к итоговой аттестации / М.Н. Кочагина, В.В. Кочагин. – М.: Эксмо, 2008. – 192 с.

Глава

Параграф

Тема

Рациональные неравенства

Тип урока

Урок обобщения и систематизации знаний по теме «Рациональные неравенства» с элементами исследовательской деятельности

Цели

Систематизация знаний по теме «Рациональные неравенства»

Задачи

Организовать деятельность учащихся по закреплению навыков решения рациональных неравенств, по обобщению и систематизации изученного материала;

Создать условия по исследованию применения метода интервалов при решении неравенств не являющихся рациональными;

Создать условия для развития умений работать самостоятельно, анализировать и обобщать материал

Способствовать формированию интереса к изучаемому предмету, коммуникативных навыков, умению работать в команде, умения общаться, общей культуры

Оборудование

Компьютер, мультимедиапроектор, ЭСО

Ход урока

№ п/п

Этап урока

Форма

Время, мин.

Организационный момент

Учащиеся сидят в группах.(На доске эпиграф)

« Христос умер не для того, чтобы спасти людей, а для того, чтобы научить их спасать друг друга ».

Слово учителя : Сейчас середина декабря, время ожидания и подготовки к празднованию важных для всех праздников: Рождество Христово, Новый год, Крещение Господне, День спасателя Беларуси. Не зря эти праздники так близки по датам. 19 января совпадают праздники Крещение Господне и День спасателя. Нет для человека более важной миссии в жизни, чем помощь и спасение другого человека. Звучит отрывок песни «Спасатели», слайд презентации.

Вводное слово учителя

Введение темы урока

Сегодня на уроке мы займемся не только отработкой навыков решения математических задач, но и вспомним этапы становления службы спасения в Беларуси.

Определим тему нашего урока. Для этого вам необходимо выполнить следующие задания (слайды презентации).

Установите лишний объект

Лишним является уравнение №4. Почему?

Установите лишний объект

Лишним является неравенство №5. Почему?

Укажите название данной группы объектов .

Тема урока «Рациональные неравенства»

Сообщение: тема, прикладное значение темы, цели урока.

Работа в группах

3мин

Актуализации полученных знаний

Математическая разминка

Продолжите утверждения (слайд презентации):

Решить неравенство значит….

Решение неравенства это

Рациональные неравенства это…

Область определения функции - это…

Решить неравенство методом интервалов значит…

(учащиеся формулируют алгоритм решения неравенств методом интервалов).

Установите соответствие

Взаимопроверка ответов (заполнение маршрутных листов)

1-4, 2-5, 3-2, 4-6, 5-3, 6-1

Фронтальный опрос, индивидуальная работа

мин

Рефлексия.

К какому типу неравенств относятся данные неравенства? (квадратные, рациональные). Какими методами можно решать такие неравенства (метод интервалов, использование свойств квадратичной функции).

Почему 5 неравенство не имеет решений? Почему решением 1 неравенства является любое число?

Фронтальный опрос

Постановка задач группам

Формирование новых групп

Многие из вас мечтают стать спасателями. Вы знаете, что им приходится работать в экстремальных ситуациях. Спасатель должен быть хорошо подготовлен, уметь быстро ориентироваться в ситуации, находить оптимальное решение в нестандартных ситуациях, уметь координировать свои действия совестно с действиями своей команды.

Сегодня у нас работает 3 команды, работающие в нестандартной ситуации. Командир каждой команды получает маршрутный листок, комплект заданий.

1 –я команда - стажеры.

2 и 3 команды - спасатели.

Беседа,

воспитательный момент

7 мин

Актуализация полученных навыков.

1 этап работы

!11 1 команда «Стажеры»

Работа с учителем

Решения неравенств с комментариями у доски.

Задание «Проверь себя» -индивидуальная работа по карточкам. Самоконтроль ответов. Карточка №1.

2 команда «Спасатели»

Отработка навыков решения неравенств

Групповая работа.

Решение тренажера.

Карточка №2.

3 команда «Спасатели» - асы

Тестовый контроль знаний

По теме «Рациональные неравенства».

Работа на компьютере.

Работа в группах. Тестовый контроль знаний

10 мин

6 .

Актуализация навыков

2 этап работы

Актуализация навыков

2 этап работы

!11 1 команда «Стажеры»

Отработка навыков решения неравенств

Индивидуальная работа.

Решение тренажера. Каждый ученик заполняет хронологическую таблицу – история становления службы спасения в Беларуси. Карточка №2.

Тестовый контроль знаний Работа в группах.

10 мин

2 команда «Спасатели»

Отработка навыков решения неравенств

Индивидуальная работа – тестовый контроль знаний по теме «Рациональные неравенства». Работа на компьютере.

3 команда «Спасатели»

Тестовый контроль знаний

1) Решение тренажераЗаполнение таблицу – история становления службы спасения в Беларуси

2) Исследование

Представление результатов работы групп

Представление хронологической таблицы – история становления службы спасения в Беларуси (приложения)

Результаты проверки заносятся в карту результативности листок.

Представление результатов исследования. Решение неравенства на доске.

Самопроверка.

Рефлексия.

Можно ли применить метод интервалов при решении неравенств не являющихся рациональными?

Меняется ли структура применения этого метода?

Какие основные этапы решения?

Фронтальный опрос

Подведение итогов урока.

Выставление результатов в маршрутных листах.

Домашнее задание.

1 уровень №2.64 (1,4,7), 2.99(1) 2.89(5),

2.119(1,4,7)

2 уровень №2.107(4,5), 2.123(2,3), 2.120(2 столб.)

Приложение 1.

Маршрутный лист

1 Команда «Стажеры»

этап Стол №1

Работа с учителем

Решения неравенствс комментариями у доски.

Задание «Проверь себя» - индивидуальная работа по карточкам. Самоконтроль ответов.

Карточка №1.

этап Стол №2

Индивидуальная работа. Решение тренажера.

Каждый ученик заполняет хронологическую таблицу – история становления службы спасения в Беларуси.

Карточка №2.

2 команда «Спасатели»

этап Стол №2

Индивидуальная работа. Решение тренажера.

Каждый ученик заполняет хронологическую таблицу – история становления службы спасения в Беларуси.

Карточка №2.

этап Работа на компьютере.

3 команда «Спасатели» - асы

этап Работа на компьютере.

Индивидуальная работа – тестовый контроль знаний по теме «Рациональные неравенства».

2 этап Стол №1

Исследование Решение неравенств методом интервалов содержащих переменную под знаком модуля и иррациональные выражения.

Индивидуальная работа.

Решение тренажера.

Каждый ученик заполняет хронологическую таблицу – история становления службы спасения в Беларуси.

Картчка №2.

Приложение 2

Карта результативности

Взвод ________ Ф.И.______________________________

Этап

Баллы

Разминка

«Установи

Соответствие»

5-6 верных ответов - 1,5балл

3-4 верных ответов - 1,0балла

1-2 верных ответа - 0,5 баллов

Тренажер, хронологическая таблица

1 верный ответ 1, 5 балла

2верных ответа - 2 балла

3 верных ответа - 2,5 балла

4 верных ответа - 3 балла

5 верных ответов - 3,5балла

Компьютерный тест

Отметка

«Проверь себя «

Самостоятельная работа

1 верный - 2

2 верных- 3

3 верных 4

4 верных- 5

Результат

Приложение 3

Задание « Проверь себя»

Наименьшее целое?

Решение №1 ! !

Ответ: (- (3; +

Решение №2 !! !!

D (y ) : x + + - - -9 -7 6 8 х

Нули функции: х=-7, х=-9!!!

Ответ: наименьшее целое -9.

Решение №3

D (y ): х

№ урока: 16 Дата проведения:_________

Тема урока: «Системы рациональных неравенств».

Цели урока:

образовательные: способствовать развитию навыков решения систем неравенств; учить находить общее решение системы неравенств; научить решать систему, содержащую квадратные неравенства; повторить метод интервалов;

развивающие: учить выражать мысли в устной речи, делать выводы, подводить итог, формировать навыки самоконтроля;

воспитательные: учить слушать и принимать точку зрения других, воспитывать чувство патриотизма, прививать любовь к предмету.

Тип урока: комбинированный.

Ход урока

Организационный момент:

приветствие;

проверка готовности учащихся к уроку;

объявление темы и формулировка целей урока;

проверка домашнего задания.

Проверить устно домашнее задание. Разобрать задания, которые вызвали у учащихся затруднения.

II. Выполнение упражнений.

1. Вспомнить формулу разложения квадратного трехчлена на множители.

2. Повторить, в чем заключается метод интервалов при решении квадратных неравенств.

3. Решить № 4.9 (г). Решение объясняет учитель.

1) Решим неравенство 3х – 10 5х – 5; 3х – 5х – 5 + 10; – 2х 5;
х

2) Решим неравенство х 2 + 5х + 6 х 2 + 5х + 6 = 0; D = 1; х 1 = – 3;
х 2 = – 2; тогда (х + 3)(х + 2)

Имеем – 3 х

3) Найдем решение системы неравенств

О т в е т: – 3 х

4. Решить № 4.9 (в) самостоятельно с проверкой.

О т в е т: нет решений.

5. Решить № 4.10 (г). Объясняет учитель. Предварительно повторить теорему о квадратном трехчлене с отрицательным дискриминантом.

г)

1) Решим неравенство – 2х 2 + 3х – 2 х 2 + 3х – 2 = 0; D = 9 – 16 = = – 7 х .

2) Решим неравенство –3(6х – 1) – 2х х ; – 18х + 3 – 2х х ; – 20х – х х х Решение данной системы неравенств х

О т в е т: х

6. Решить № 4.10 (в) на доске и в тетрадях.

в)

Решим неравенство 5х 2 – 2х + 1 ≤ 0. 5х 2 –2х + 1 = 0; D = 4 – 20 = –16

По теореме неравенство не имеет решений, а это значит, что данная система не имеет решений.

О т в е т: нет решений.

7. Решить № 4.11 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие в тетрадях, потом проверяется решение.

в)

1) Решим неравенство 2х 2 + 5х + 10 0. 2х 2 + 5х + 10 = 0; D = –55

По теореме неравенство верно при всех значениях х .

2) Решим неравенство х 2 ≥ 16; х 2 – 16 ≥ 0; (х – 4)(х + 4) ≥ 0; х = 4;
х = – 4.

Решение х ≤ –4 и х ≥ 4.

3) Решение системы неравенств

О т в е т: х ≤ – 4; х ≥ 4.

8. Решить № 4.32 (б) на доске и в тетрадях.

Решение

Наименьшее целое число равно –2; наибольшее целое число равно 6.

О т в е т: –2; 6.

9. Повторение ранее изученного материала.

1) Решить № 4.11 (а; б) на с. 12 устно.

2) Решить № 4.12 (б), построив графики функций (с. 12).

б)

Строим графики функций
и y = –1 – x .

О т в е т: –2.

III. Итоги урока.

1. В курсе алгебры 9 класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств.

2. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений.

3. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит решение второго неравенства системы.

Домашнее задание: решить №№: 4.9 (а; б), № 4.10 (а; б), № 4.11 (а; б), № 4.32 (а).

На этом уроке мы вспомним весь пройденный по теме материал и будем решать примеры с различным типом неравенств. Вначале повторим метод интервалов и операции пересечения и объединения множеств. Далее будем решать примеры с использованием стандартных методик решения.

Тема: Рациональные неравенства и их системы

Урок: Обзорный урок по теме: «Рациональные неравенства и их системы»

Мы дозированно увеличивали сложность систем неравенств: сначала решали линейные системы, потом добавляли квадратные неравенства, рациональные неравенства , сами составляли системы, и, таким образом, у нас выработалась методика решения систем неравенств.

Она включает в себя важные элементы:

1. Метод интервалов как метод решения отдельных неравенств.

2. Операция пересечения и объединения числовых множеств.

Рассмотрим эти элементы. Вспомним метод интервалов на примере:

Рассмотрим функцию

Найдем корни квадратного трехчлена

Найдем корни по теореме Виета

Выделим интервалы знакопостоянства.

При переходе через т.-1 функция не меняет знак, т.к. скобка в четной степени.

Мы допустили ошибку, не указали изолированное решение.

Ответ:

Изобразим эскиз графика функции.

Метод интервалов - важнейший элемент решения рациональных неравенств и систем.

Смысл операций пересечения и объединения множеств, в том числе числовых, помогает уяснить следующая картинка:

Пересечение множеств.

Имеем множество А неких элементов и множество В. Какая-то часть этих элементов одновременно попадает и во множество А, и во множество В, и она называется пересечением А и В (Рис. 3).

Например:

Их пересечение дает следующее множество:

Объединение множеств.

Есть элементы которые входят только во множество А, есть элементы которые входят только в множество В. Есть те, которые входят и туда и туда - эти элементы образуют пересечение множеств.

А все элементы из А и недостающие элементы из В образуют объединение множеств (Рис. 5).

Например:

(Рис. 6).

Решением неравенства является объединение двух множеств:

Еще один пример.

Найти пересечение и объединение множеств.

Пересечение множеств:

Объединение множеств:

Решением является любое число,

Решить систему простейших неравенств.

Ответ:

Мы повторили метод интервалов, операции объединения и пересечения множеств. Теперь рассмотрим обратную задачу, которая позволит глубже понять смысл решения неравенств.

Дано решение неравенства, нужно придумать хотя бы одно неравенство, для которого оно справедливо.

6. Найти неравенство, решением которого является данное объединение множеств.

Это может быть решение квадратного неравенства. Графиком соответствующей квадратичной функции является парабола, проходящая через точки 2 и 4.

Рассмотрим задачи с модулем.

Рассмотри первое неравенство. Что такое ? Это расстояние от точки с координатами x до точки3. А означает, что расстояние между этими точками не больше 2. Изобразим графически:

Решим второе неравенство.

Рассмотрим функцию

Графиком является парабола, ветви направлены вверх.

Вернемся к системе.

Ответ:

Сопутствующие задачи.

Найти наименьшее решение. Ответ: Наименьшего решения данной системы не существует.

Найти наибольшее решение. Ответ:

Мы провели обзор решения систем рациональных неравенств. Мы рассмотрели основные элементы, которые обеспечивают успех прохождения методики решения неравенств. Что нужно, чтобы решить неравенство? Метод интервалов. Что нужно, чтобы получить решение типовых систем? Нужно представлять себе операции пересечения и объединения.

Неравенства потребуются нам и в дальнейшем.

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

1. Портал Естественных Наук ().

2. Портал Естественных Наук ().

3. Портал Естественных Наук ().

4. Портал Естественных Наук ().

5. Электронный учебно-методический комплекс для подготовки 10-11 классов к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку ().

7. Центр образования «Технология обучения» ().

8. Центр образования «Технология обучения» ().

9. Центр образования «Технология обучения» ().

10. Раздел College.ru по математике ().

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 82 - 84; Домашняя контрольная работа № 1.