Таблица тригонометрических функций. Предлагаемый математический аппарат является полным аналогом комплексного исчисления для n-мерных гиперкомплексных чисел с любым числом степеней свободы n и предназначен для математического моделирования нелинейных
Таблица основных тригонометрических функций для углов 0, 30, 45, 60, 90, … градусов
Из тригонометрических определений функций $\sin$, $\cos$, $\tan$ и $\cot$ можно узнать их значения для углов $0$ и $90$ градусов:
$\sin0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ не определяется;
$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ не определяется.
В школьном курсе геометрии при изучении прямоугольных треугольников находят тригонометрические функции углов $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ и $90°$.
Найденные значения тригонометрических функций для указанных углов в градусах и радианах соответственно ($0$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$) для удобства запоминания и использования заносят в таблицу, которую называют тригонометрической таблицей , таблицей основных значений тригонометрических функций и т.п.
При использовании формул приведения, тригонометрическая таблица может быть расширена до угла $360°$ и соответственно $2\pi$ радиан:
Применяя свойства периодичности тригонометрических функций, каждый угол, который будет отличаться от уже известного на $360°$, можно рассчитать и записать в таблицу. Например, тригонометрическая функция для угла $0°$ будет иметь такое же значение и для угла $0°+360°$, и для угла $0°+2 \cdot 360°$, и для угла $0°+3 \cdot 360°$ и т.д.
С помощью тригонометрической таблицы можно определить значения всех углов единичной окружности.
В школьном курсе геометрии предполагается запоминание основных значений тригонометрических функций, собранных в тригонометрической таблице, для удобства решения тригонометрических задач.
Использование таблицы
В таблице достаточно найти необходимую тригонометрическую функцию и значение угла или радиан, для которых эту функцию нужно вычислить. На пересечении строки с функцией и столбца со значением получим искомое значение тригонометрической функции заданного аргумента.
На рисунке можно увидеть, как найти значение $\cos60°$, которое равно $\frac{1}{2}$.
Аналогично используется расширенная тригонометрическая таблица. Преимуществом ее использования является, как уже упоминалось, вычисление тригонометрической функции практически любого угла. Например, легко можно найти значение $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300°$:
Таблицы Брадиса основных тригонометрических функций
Возможность расчета тригонометрической функции абсолютно любого значения угла для целого значения градусов и целого значения минут дает использование таблиц Брадиса. Например, найти значение $\cos34°7"$. Таблицы разделены на 2 части: таблицу значений $\sin$ и $\cos$ и таблицу значений $\tan$ и $\cot$.
Таблицы Брадиса дают возможность получить приближенное значение тригонометрических функций с точностью до 4-х знаков после десятичной запятой.
Использование таблиц Брадиса
Используя таблицы Брадиса для синусов, найдем $\sin17°42"$. Для этого в столбце слева таблицы синусов и косинусов находим значение градусов – $17°$, а в верхней строке находим значение минут – $42"$. На их пересечении получаем искомое значение:
$\sin17°42"=0,304$.
Для нахождения значения $\sin17°44"$ нужно воспользоваться поправкой в правой части таблицы. В данном случае к значению $42"$, которое есть в таблице, нужно добавить поправку для $2"$, которая равна $0,0006$. Получим:
$\sin17°44"=0,304+0,0006=0,3046$.
Для нахождения значения $\sin17°47"$ также пользуемся поправкой в правой части таблицы, только в этом случае за основу берем значение $\sin17°48"$ и отнимаем поправку для $1"$:
$\sin17°47"=0,3057-0,0003=0,3054$.
При расчете косинусов выполняем аналогичные действия, но градусы смотрим в правом столбце, а минуты – в нижней колонке таблицы. Например, $\cos20°=0,9397$.
Для значений тангенса до $90°$ и котангенса малого угла поправок нет. Например, найдем $\tan 78°37"$, который по таблице равен $4,967$.
В статье, мы полностью разберемся, как выглядит таблица тригонометрических значений, синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Рассмотрим основное значение тригонометрических функций, от угла в 0,30,45,60,90,...,360 градусов. И посмотрим как пользоваться данными таблицами в вычислении значения тригонометрических функций.
Первой рассмотрим таблицу косинуса, синуса, тангенса и котангенса от угла в 0, 30, 45, 60, 90,.. градусов. Определение данных величин дают определить значение функций углов в 0 и 90 градусов:
sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 0 0 = 0, котангенс от 0 0 будет неопределенным
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0,тангенс от 90 0 будет неопределенным
Если взять прямоугольные треугольники углы которых от 30 до 90 градусов. Получим:
sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tg 30 0 = √3/3, ctg 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tg 45 0 = 1, ctg 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3 , ctg 60 0 = √3/3
Изобразим все полученные значения в виде тригонометрической таблицы :
Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов!
Если использовать формулу приведения, наша таблица увеличится, добавятся значения для углов до 360 градусов. Выглядеть она будет как:
Так же исходя из свойств периодичности таблицу можно увеличить, если заменим углы на 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z, в котором z является целым числом. В данной таблице возможно вычислить значение всех углов, соответствующими точками в единой окружности.
Разберем наглядно как использовать таблицу в решении.
Все очень прост. Так как нужное нам значение лежит в точке пересечения нужных нам ячеек. К примеру возьмем cos угла 60 градусов, в таблице это будет выглядеть как:
В итоговой таблице основных значений тригонометрических функций, действуем так же. Но в данной таблице возможно узнать сколько составит тангенс от угла в 1020 градусов, он = -√3 Проверим 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Найдем по таблице.
Для более поиска тригонометрических значений углов с точностью до минут используются . Подробная инструкция как ими пользоваться на странице
Таблица Брадиса. Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Таблицы Брадиса поделены на несколько частей, состоят из таблиц косинуса и синуса, тангенса и котангенса - которая поделена на две части (tg угла до 90 градусов и ctg малых углов).
Синус и косинус
tg угла начиная с 0 0 заканчивая 76 0 , ctg угла начиная с 14 0 заканчивая 90 0 .
tg до 90 0 и ctg малых углов.
Разберемся как пользоваться таблицами Брадиса в решении задач.
Найдем обозначение sin (обозначение в столбце с левого края) 42 минут (обозначение находится на верхней строчке). Путем пересечения ищем обозначение, оно = 0,3040.
Величины минут указаны с промежутком в шесть минут, как быть если нужное нам значение попадет именно в этот промежуток. Возьмем 44 минуты, а в таблице есть только 42. Берем за основу 42 и воспользуемся добавочными столбцами в правой стороне, берем 2 поправку и добавляем к 0,3040 + 0,0006 получаем 0,3046.
При sin 47 мин, берем за основу 48 мин и отнимаем от нее 1 поправку, т.е 0,3057 - 0,0003 = 0,3054
При вычислении cos работаем аналогично sin только за основу берем нижнюю строку таблицы. К примеру cos 20 0 = 0.9397
Значения tg угла до 90 0 и cot малого угла, верны и поправок в них нет. К примеру, найти tg 78 0 37мин = 4,967
а ctg 20 0 13мин = 25,83
Ну вот мы и рассмотрели основные тригонометрические таблицы. Надеемся это информация была для вас крайне полезной. Свои вопросы по таблицам, если они появились, обязательно пишите в комментариях!
Заметка: Стеновые отбойники - отбойная доска для защиты стен (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/)
ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Таблица значений тригонометрических функций составлена для углов в 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 и 360 градусов и соответствующих им значений углов врадианах. Из тригонометрических функций в таблице приведены синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Для удобства решения школьных примеров значения тригонометрических функций в таблице записаны в виде дроби с сохранением знаков извлечения корня квадратного из чисел, что очень часто помогает сокращать сложные математические выражения. Для тангенса и котангенса значения некоторых углов не могут быть определены. Для значений тангенса и котангенса таких углов в таблице значений тригонометрических функций стоит прочерк. Принято считать, что тангенс и котангенс таких углов равняется бесконечности. На отдельной странице находятся формулы приведения тригонометрических функций.
В таблице значений для тригонометрической функции синус приведены значения для следующих углов: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 в градусной мере, что соответствует sin 0 пи, sin пи/6, sin пи/4, sin пи/3, sin пи/2, sin пи, sin 3 пи/2, sin 2 пи в радианной мере углов. Школьная таблица синусов.
Для тригонометрической функции косинус в таблице приведены значения для следующих углов: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 в градусной мере, что соответствует cos 0 пи, cos пи на 6, cos пи на 4, cos пи на 3, cos пи на 2, cos пи, cos 3 пи на 2, cos 2 пи в радианной мере углов. Школьная таблица косинусов.
Тригонометрическая таблица для тригонометрической функции тангенс приводит значения для следующих углов: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 в градусной мере, что соответствует tg 0 пи, tg пи/6, tg пи/4, tg пи/3, tg пи, tg 2 пи в радианной мере углов. Следующие значения тригонометрических функций тангенса не определены tg 90, tg 270, tg пи/2, tg 3 пи/2 и считаются равными бесконечности.
Для тригонометрической функции котангенс в тригонометрической таблице даны значения следующих углов: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 в градусной мере, что соответствует ctg пи/6, ctg пи/4, ctg пи/3, tg пи/2, tg 3 пи/2 в радианной мере углов. Следующие значения тригонометрических функций котангенса не определены ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 пи, ctg пи, ctg 2 пи и считаются равными бесконечности.
Значения тригонометрических функций секанс и косеканс приведены для таких же углов в градусах и радианах, что и синус, косинус, тангенс, котангенс.
В таблице значений тригонометрических функций нестандартных углов приводятся значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов в градусах 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 градусов и в радианах пи/12, пи/10, пи/8, пи/5, 3пи/8, 2пи/5 радиан. Значения тригонометрических функций выражены через дроби и корни квадратные для упрощения сокращения дробей в школьных примерах.
Еще три монстра тригонометрии. Первый - это тангенс 1,5 полутора градусов или пи деленное на 120. Второй - косинус пи деленное на 240, пи/240. Самый длинный - косинус пи деленное на 17, пи/17.
Тригонометрический круг значений функций синус и косинус наглядно представляет знаки синуса и косинуса в зависимости от величины угла. Специально для блондинок значения косинуса подчеркнуты зелененькой черточкой,чтоб меньше путаться. Так же очень наглядно представлен перевод градусов в радианы, когда радианы выражены через пи.
Эта тригонометрическая таблица представляет значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов от 0 нуля до 90 девяносто градусов с интервалом через один градус. Для первых сорока пяти градусов названия тригонометрических функций необходимо смотреть в верхней части таблицы. В первом столбце указаны градусы, значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов записаны в следующих четырех столбцах.
Для углов от сорока пяти градусов до девяноста градусов названия тригонометрических функций записаны в нижней части таблицы. В последнем столбце указаны градусы, значения косинусов, синусов, котангенсов и тангенсов записаны в предыдущих четырех столбцах. Следует быть внимательными, поскольку в нижней части тригонометрической таблицы названия тригонометрических функций отличаются от названий в верхней части таблицы. Синусы и косинусы меняются местами, точно так же, как тангенс и котангенс. Это связано с симметричностью значений тригонометрических функций.
Знаки тригонометрических функций представлены на рисунке выше. Синус имеет положительные значения от 0 до 180 градусов или от 0 до пи. Отрицательные значения синус имеет от 180 до 360 градусов или от пи до 2 пи. Значения косинуса положительны от 0 до 90 и от 270 до 360 градусов или от 0 до 1/2 пи и от 3/2 до 2 пи. Тангенс и котангенс имеют положительные значения от 0 до 90 градусов и от 180 до 270 градусов, что соответствует значениям от 0 до 1/2 пи и от пи до 3/2 пи. Отрицательные значения тангенс и котангенс имеют от 90 до 180 градусов и от 270 до 360 градусов или от 1/2 пи до пи и от 3/2 пи до 2 пи. При определении знаков тригонометрических функций для углов больше 360 градусов или 2 пи следует использовать свойства периодичности этих функций.
Тригонометрические функции синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями. Значения этих функций для отрицательных углов будут отрицательными. Косинус является четной тригонометрической функцией - значение косинуса для отрицательного угла будет положительным. При умножении и делении тригонометрических функций необходимо соблюдать правила знаков.
-
В таблице значений для тригонометрической функции синус приведены значения для следующих углов
ДокументОтдельной странице находятся формулы приведения тригонометрических функций . В таблице значений для тригонометрической функции синус приведены значения для следующих углов : sin 0, sin 30, sin 45 ...
-
Предлагаемый математический аппарат является полным аналогом комплексного исчисления для n-мерных гиперкомплексных чисел с любым числом степеней свободы n и предназначен для математического моделирования нелинейных
Документ... функции равно функции изображения. Из этой теоремы следует , что для нахождения координат U, V достаточно вычислить функцию ... геометрии; полинарные функции (многомерные аналоги двухмерных тригонометрических функций ), их свойства, таблицы и применение; ...
-
В этой статье собраны таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов . Сначала мы приведем таблицу основных значений тригонометрических функций, то есть, таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов (0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π радиан). После этого мы дадим таблицу синусов и косинусов, а также таблицу тангенсов и котангенсов В. М. Брадиса, и покажем, как использовать эти таблицы при нахождении значений тригонометрических функций.
Навигация по странице.
Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0, 30, 45, 60, 90, … градусов
Список литературы.
- Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
- Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
- Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
- Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы: Для общеобразоват. учеб. заведений. - 2-е изд. - М.: Дрофа, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2
Таблицы значений синусов (sin), косинусов (cos), тангенсов (tg), котангенсов (ctg) - это мощный и полезный инструмент, помогающий решать множество задач, как теоретического, так и прикладного характера. В этой статье мы приведем таблицу основных тригонометрических функций (синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов) для углов 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 градусов (0 , π 6 , π 3 , π 2 , . . . , 2 π радиан). Также будут показаны отдельные таблицы Брадиса для синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов с пояснением, как их использовать для нахождения значений основных тригонометрических функций.
Таблица основных тригонометрических функций для углов 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 градусов
Исходя из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса можно найти значения этих функций для углов 0 и 90 градусов
sin 0 = 0 , cos 0 = 1 , t g 0 = 0 , котангенс нуля - не определен,
sin 90 ° = 1 , cos 90 ° = 0 , с t g 90 ° = 0 , тангенс дявяноста градусов не определен.
Значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов в курсе геометрии определяются как соотношения сторон прямоугольного треугольника, углы которого равны 30, 60 и 90 градусов, и также 45, 45 и 90 градусов.
Определение тригонометрических функуций для острого угла в прямоугольном треугольнике
Синус - отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс - отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс - отношение прилежащего катета к противолежащему.
В соответствии с определениями находятся значения функций:
sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , t g 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 , sin 45 ° = 2 2 , cos 45 ° = 2 2 , t g 45 ° = 1 , c t g 45 ° = 1 , sin 60 ° = 3 2 , cos 45 ° = 1 2 , t g 45 ° = 3 , c t g 45 ° = 3 3 .
Сведем эти значения в таблицу и назовем ее таблицей основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Таблица основных значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов
α ° 0 30 45 60 90 sin α 0 1 2 2 2 3 2 1 cos α 1 3 2 2 2 1 2 0 t g α 0 3 3 1 3 н е о п р е д е л е н c t g α н е о п р е д е л е н 3 1 3 3 0 α , р а д и а н 0 π 6 π 4 π 3 π 2 Одно из важных свойств тригонометрических функций - периодичность. На основе этого свойства данную таблицу можно расширить,используя формулы приведения. Ниже представим расширенную таблицу значений основных тригонометрических функций для углов 0, 30, 60, ... ,120, 135, 150, 180, ... , 360 градусов (0 , π 6 , π 3 , π 2 , . . . , 2 π радиан).
Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов
α ° 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360 sin α 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 - 1 2 - 2 2 - 3 2 - 1 - 3 2 - 2 2 - 1 2 0 cos α 1 3 2 2 2 1 2 0 - 1 2 - 2 2 - 3 2 - 1 - 3 2 - 2 2 - 1 2 0 1 2 2 2 3 2 1 t g α 0 3 3 1 3 - - 1 - 3 3 0 0 3 3 1 3 - - 3 - 1 0 c t g α - 3 1 3 3 0 - 3 3 - 1 - 3 - 3 1 3 3 0 - 3 3 - 1 - 3 - α , р а д и а н 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2 π 3 3 π 4 5 π 6 π 7 π 6 5 π 4 4 π 3 3 π 2 5 π 3 7 π 4 11 π 6 2 π Периодичность синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяет расширять эту таблицу до сколь угодно больших значений углов. Значения, собранные в таблице, используются при решении задач чаще всего, поэтому их рекомендуется выучить наизусть.
Как пользоваться таблицей основных значений тригонометрических функций
Принцип пользования таблицей значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов понятен на интуитивном уровне. Пересечение строки и столбца дает значение функции для конкретного угла.
Пример. Как пользоваться таблицей синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов
Нужно узнать, чему равен sin 7 π 6
Находим в таблице столбец, значение последней ячейки которого равно 7 π 6 радиан - то же самое, что 210 градусов. Затем выбираем сроку таблицы, в которой представлены значения синусов. На пересечении строки и столбца находим искомое значение:
sin 7 π 6 = - 1 2
Таблицы Брадиса
Таблица Брадиса позволяет вычислить значение синуса, косинуса, тангенса или котангенса с точностью до 4-х знаков после запятой без использования вычислительной техники. Это своего рода замена инженерному калькулятору.
Справка
Владимир Модестович Брадис (1890 - 1975) - советский математик-педагог, с 1954 года член-корреспондент АПН СССР. Таблицы четырёхзначных логарифмов и натуральных тригонометрических величин, разработанные Брадисом, впервые вышли в 1921 году.
Сначала приведем таблицу Брадиса для синусов и косинусов. Она позволяет достаточно точно вычислять приближенные значения этих функций для углов, содержащих целое количество градусов и минут. В крайнем левом столбце таблицы представлены градусы, а в верхней строке - минуты. Отметим, что все значения углов таблицы Брадиса кратны шести минутам.
Таблица Брадиса для синусов и косинусов
sin 0" 6" 12" 18" 24" 30" 36" 42" 48" 54" 60" cos 1" 2" 3" 0.0000 90° 0° 0.0000 0017 0035 0052 0070 0087 0105 0122 0140 0157 0175 89° 3 6 9 1° 0175 0192 0209 0227 0244 0262 0279 0297 0314 0332 0349 88° 3 6 9 2° 0349 0366 0384 0401 0419 0436 0454 0471 0488 0506 0523 87° 3 6 9 3° 0523 0541 0558 0576 0593 0610 0628 0645 0663 0680 0698 86° 3 6 9 4° 0698 0715 0732 0750 0767 0785 0802 0819 0837 0854 0.0872 85° 3 6 9 5° 0.0872 0889 0906 0924 0941 0958 0976 0993 1011 1028 1045 84° 3 6 9 6° 1045 1063 1080 1097 1115 1132 1149 1167 1184 1201 1219 83° 3 6 9 7° 1219 1236 1253 1271 1288 1305 1323 1340 1357 1374 1392 82° 3 6 9 8° 1392 1409 1426 1444 1461 1478 1495 1513 1530 1547 1564 81° 3 6 9 9° 1564 1582 1599 1616 1633 1650 1668 1685 1702 1719 0.1736 80° 3 6 9 10° 0.1736 1754 1771 1788 1805 1822 1840 1857 1874 1891 1908 79° 3 6 9 11° 1908 1925 1942 1959 1977 1994 2011 2028 2045 2062 2079 78° 3 6 9 12° 2079 2096 2113 2130 2147 2164 2181 2198 2215 2233 2250 77° 3 6 9 13° 2250 2267 2284 2300 2317 2334 2351 2368 2385 2402 2419 76° 3 6 8 14° 2419 2436 2453 2470 2487 2504 2521 2538 2554 2571 0.2588 75° 3 6 8 15° 0.2588 2605 2622 2639 2656 2672 2689 2706 2723 2740 2756 74° 3 6 8 16° 2756 2773 2790 2807 2823 2840 2857 2874 2890 2907 2924 73° 3 6 8 17° 2924 2940 2957 2974 2990 3007 3024 3040 3057 3074 3090 72° 3 6 8 18° 3090 3107 3123 3140 3156 3173 3190 3206 3223 3239 3256 71° 3 6 8 19° 3256 3272 3289 3305 3322 3338 3355 3371 3387 3404 0.3420 70° 3 5 8 20° 0.3420 3437 3453 3469 3486 3502 3518 3535 3551 3567 3584 69° 3 5 8 21° 3584 3600 3616 3633 3649 3665 3681 3697 3714 3730 3746 68° 3 5 8 22° 3746 3762 3778 3795 3811 3827 3843 3859 3875 3891 3907 67° 3 5 8 23° 3907 3923 3939 3955 3971 3987 4003 4019 4035 4051 4067 66° 3 5 8 24° 4067 4083 4099 4115 4131 4147 4163 4179 4195 4210 0.4226 65° 3 5 8 25° 0.4226 4242 4258 4274 4289 4305 4321 4337 4352 4368 4384 64° 3 5 8 26° 4384 4399 4415 4431 4446 4462 4478 4493 4509 4524 4540 63° 3 5 8 27° 4540 4555 4571 4586 4602 4617 4633 4648 4664 4679 4695 62° 3 5 8 28° 4695 4710 4726 4741 4756 4772 4787 4802 4818 4833 4848 61° 3 5 8 29° 4848 4863 4879 4894 4909 4924 4939 4955 4970 4985 0.5000 60° 3 5 8 30° 0.5000 5015 5030 5045 5060 5075 5090 5105 5120 5135 5150 59° 3 5 8 31° 5150 5165 5180 5195 5210 5225 5240 5255 5270 5284 5299 58° 2 5 7 32° 5299 5314 5329 5344 5358 5373 5388 5402 5417 5432 5446 57° 2 5 7 33° 5446 5461 5476 5490 5505 5519 5534 5548 5563 5577 5592 56° 2 5 7 34° 5592 5606 5621 5635 5650 5664 5678 5693 5707 5721 0.5736 55° 2 5 7 35° 0.5736 5750 5764 5779 5793 5807 5821 5835 5850 5864 0.5878 54° 2 5 7 36° 5878 5892 5906 5920 5934 5948 5962 5976 5990 6004 6018 53° 2 5 7 37° 6018 6032 6046 6060 6074 6088 6101 6115 6129 6143 6157 52° 2 5 7 38° 6157 6170 6184 6198 6211 6225 6239 6252 6266 6280 6293 51° 2 5 7 39° 6293 6307 6320 6334 6347 6361 6374 6388 6401 6414 0.6428 50° 2 4 7 40° 0.6428 6441 6455 6468 6481 6494 6508 6521 6534 6547 6561 49° 2 4 7 41° 6561 6574 6587 6600 6613 6626 6639 6652 6665 6678 6691 48° 2 4 7 42° 6691 6704 6717 6730 6743 6756 6769 6782 6794 6807 6820 47° 2 4 6 43° 6820 6833 6845 6858 6871 6884 6896 8909 6921 6934 6947 46° 2 4 6 44° 6947 6959 6972 6984 6997 7009 7022 7034 7046 7059 0.7071 45° 2 4 6 45° 0.7071 7083 7096 7108 7120 7133 7145 7157 7169 7181 7193 44° 2 4 6 46° 7193 7206 7218 7230 7242 7254 7266 7278 7290 7302 7314 43° 2 4 6 47° 7314 7325 7337 7349 7361 7373 7385 7396 7408 7420 7431 42° 2 4 6 48° 7431 7443 7455 7466 7478 7490 7501 7513 7524 7536 7547 41° 2 4 6 49° 7547 7559 7570 7581 7593 7604 7615 7627 7638 7649 0.7660 40° 2 4 6 50° 0.7660 7672 7683 7694 7705 7716 7727 7738 7749 7760 7771 39° 2 4 6 51° 7771 7782 7793 7804 7815 7826 7837 7848 7859 7869 7880 38° 2 4 5 52° 7880 7891 7902 7912 7923 7934 7944 7955 7965 7976 7986 37° 2 4 5 53° 7986 7997 8007 8018 8028 8039 8049 8059 8070 8080 8090 36° 2 3 5 54° 8090 8100 8111 8121 8131 8141 8151 8161 8171 8181 0.8192 35° 2 3 5 55° 0.8192 8202 8211 8221 8231 8241 8251 8261 8271 8281 8290 34° 2 3 5 56° 8290 8300 8310 8320 8329 8339 8348 8358 8368 8377 8387 33° 2 3 5 57° 8387 8396 8406 8415 8425 8434 8443 8453 8462 8471 8480 32° 2 3 5 58° 8480 8490 8499 8508 8517 8526 8536 8545 8554 8563 8572 31° 2 3 5 59° 8572 8581 8590 8599 8607 8616 8625 8634 8643 8652 0.8660 30° 1 3 4 60° 0.8660 8669 8678 8686 8695 8704 8712 8721 8729 8738 8746 29° 1 3 4 61° 8746 8755 8763 8771 8780 8788 8796 8805 8813 8821 8829 28° 1 3 4 62° 8829 8838 8846 8854 8862 8870 8878 8886 8894 8902 8910 27° 1 3 4 63° 8910 8918 8926 8934 8942 8949 8957 8965 8973 8980 8988 26° 1 3 4 64° 8988 8996 9003 9011 9018 9026 9033 9041 9048 9056 0.9063 25° 1 3 4 65° 0.9063 9070 9078 9085 9092 9100 9107 9114 9121 9128 9135 24° 1 2 4 66° 9135 9143 9150 9157 9164 9171 9178 9184 9191 9198 9205 23° 1 2 3 67° 9205 9212 9219 9225 9232 9239 9245 9252 9259 9256 9272 22° 1 2 3 68° 9272 9278 9285 9291 9298 9304 9311 9317 9323 9330 9336 21° 1 2 3 69° 9336 9342 9348 9354 9361 9367 9373 9379 9383 9391 0.9397 20° 1 2 3 70° 9397 9403 9409 9415 9421 9426 9432 9438 9444 9449 0.9455 19° 1 2 3 71° 9455 9461 9466 9472 9478 9483 9489 9494 9500 9505 9511 18° 1 2 3 72° 9511 9516 9521 9527 9532 9537 9542 9548 9553 9558 9563 17° 1 2 3 73° 9563 9568 9573 9578 9583 9588 9593 9598 9603 9608 9613 16° 1 2 2 74° 9613 9617 9622 9627 9632 9636 9641 9646 9650 9655 0.9659 15° 1 2 2 75° 9659 9664 9668 9673 9677 9681 9686 9690 9694 9699 9703 14° 1 1 2 76° 9703 9707 9711 9715 9720 9724 9728 9732 9736 9740 9744 13° 1 1 2 77° 9744 9748 9751 9755 9759 9763 9767 9770 9774 9778 9781 12° 1 1 2 78° 9781 9785 9789 9792 9796 9799 9803 9806 9810 9813 9816 11° 1 1 2 79° 9816 9820 9823 9826 9829 9833 9836 9839 9842 9845 0.9848 10° 1 1 2 80° 0.9848 9851 9854 9857 9860 9863 9866 9869 9871 9874 9877 9° 0 1 1 81° 9877 9880 9882 9885 9888 9890 9893 9895 9898 9900 9903 8° 0 1 1 82° 9903 9905 9907 9910 9912 9914 9917 9919 9921 9923 9925 7° 0 1 1 83° 9925 9928 9930 9932 9934 9936 9938 9940 9942 9943 9945 6° 0 1 1 84° 9945 9947 9949 9951 9952 9954 9956 9957 9959 9960 9962 5° 0 1 1 85° 9962 9963 9965 9966 9968 9969 9971 9972 9973 9974 9976 4° 0 0 1 86° 9976 9977 9978 9979 9980 9981 9982 9983 9984 9985 9986 3° 0 0 0 87° 9986 9987 9988 9989 9990 9990 9991 9992 9993 9993 9994 2° 0 0 0 88° 9994 9995 9995 9996 9996 9997 9997 9997 9998 9998 0.9998 1° 0 0 0 89° 9998 9999 9999 9999 9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0° 0 0 0 90° 1.0000 sin 60" 54" 48" 42" 36" 30" 24" 18" 12" 6" 0" cos 1" 2" 3" Для нахождения значений синусов и косинусов углов, не представленных в таблице, необходимо использовать поправки.
Теперь приведем таблицу Брадиса для тангенсов и котангенсов. Она содержит значения тангенсов углов от 0 до 76 градусов, и котангенсов углов от 14 до 90 градусов.
Таблица Брадиса для тангенса и котангенса
tg 0" 6" 12" 18" 24" 30" 36" 42" 48" 54" 60" ctg 1" 2" 3" 0 90° 0° 0,000 0017 0035 0052 0070 0087 0105 0122 0140 0157 0175 89° 3 6 9 1° 0175 0192 0209 0227 0244 0262 0279 0297 0314 0332 0349 88° 3 6 9 2° 0349 0367 0384 0402 0419 0437 0454 0472 0489 0507 0524 87° 3 6 9 3° 0524 0542 0559 0577 0594 0612 0629 0647 0664 0682 0699 86° 3 6 9 4° 0699 0717 0734 0752 0769 0787 0805 0822 0840 0857 0,0875 85° 3 6 9 5° 0,0875 0892 0910 0928 0945 0963 0981 0998 1016 1033 1051 84° 3 6 9 6° 1051 1069 1086 1104 1122 1139 1157 1175 1192 1210 1228 83° 3 6 9 7° 1228 1246 1263 1281 1299 1317 1334 1352 1370 1388 1405 82° 3 6 9 8° 1405 1423 1441 1459 1477 1495 1512 1530 1548 1566 1584 81° 3 6 9 9° 1584 1602 1620 1638 1655 1673 1691 1709 1727 1745 0,1763 80° 3 6 9 10° 0,1763 1781 1799 1817 1835 1853 1871 1890 1908 1926 1944 79° 3 6 9 11° 1944 1962 1980 1998 2016 2035 2053 2071 2089 2107 2126 78° 3 6 9 12° 2126 2144 2162 2180 2199 2217 2235 2254 2272 2290 2309 77° 3 6 9 13° 2309 2327 2345 2364 2382 2401 2419 2438 2456 2475 2493 76° 3 6 9 14° 2493 2512 2530 2549 2568 2586 2605 2623 2642 2661 0,2679 75° 3 6 9 15° 0,2679 2698 2717 2736 2754 2773 2792 2811 2830 2849 2867 74° 3 6 9 16° 2867 2886 2905 2924 2943 2962 2981 3000 3019 3038 3057 73° 3 6 9 17° 3057 3076 3096 3115 3134 3153 3172 3191 3211 3230 3249 72° 3 6 10 18° 3249 3269 3288 3307 3327 3346 3365 3385 3404 3424 3443 71° 3 6 10 19° 3443 3463 3482 3502 3522 3541 3561 3581 3600 3620 0,3640 70° 3 7 10 20° 0,3640 3659 3679 3699 3719 3739 3759 3779 3799 3819 3839 69° 3 7 10 21° 3839 3859 3879 3899 3919 3939 3959 3979 4000 4020 4040 68° 3 7 10 22° 4040 4061 4081 4101 4122 4142 4163 4183 4204 4224 4245 67° 3 7 10 23° 4245 4265 4286 4307 4327 4348 4369 4390 4411 4431 4452 66° 3 7 10 24° 4452 4473 4494 4515 4536 4557 4578 4599 4621 4642 0,4663 65° 4 7 11 25° 0,4663 4684 4706 4727 4748 4770 4791 4813 4834 4856 4877 64° 4 7 11 26° 4877 4899 4921 4942 4964 4986 5008 5029 5051 5073 5095 63° 4 7 11 27° 5095 5117 5139 5161 5184 5206 5228 5250 5272 5295 5317 62° 4 7 11 28° 5317 5340 5362 5384 5407 5430 5452 5475 5498 5520 5543 61° 4 8 11 29° 5543 5566 5589 5612 5635 5658 5681 5704 5727 5750 0,5774 60° 4 8 12 30° 0,5774 5797 5820 5844 5867 5890 5914 5938 5961 5985 6009 59° 4 8 12 31° 6009 6032 6056 6080 6104 6128 6152 6176 6200 6224 6249 58° 4 8 12 32° 6249 6273 6297 6322 6346 6371 6395 6420 6445 6469 6494 57° 4 8 12 33° 6494 6519 6544 6569 6594 6619 6644 6669 6694 6720 6745 56° 4 8 13 34° 6745 6771 6796 6822 6847 6873 6899 6924 6950 6976 0,7002 55° 4 9 13 35° 0,7002 7028 7054 7080 7107 7133 7159 7186 7212 7239 7265 54° 4 8 13 36° 7265 7292 7319 7346 7373 7400 7427 7454 7481 7508 7536 53° 5 9 14° 37° 7536 7563 7590 7618 7646 7673 7701 7729 7757 7785 7813 52° 5 9 14 38° 7813 7841 7869 7898 7926 7954 7983 8012 8040 8069 8098 51° 5 9 14 39° 8098 8127 8156 8185 8214 8243 8273 8302 8332 8361 0,8391 50° 5 10 15 40° 0,8391 8421 8451 8481 8511 8541 8571 8601 8632 8662 0,8693 49° 5 10 15 41° 8693 8724 8754 8785 8816 8847 8878 8910 8941 8972 9004 48° 5 10 16 42° 9004 9036 9067 9099 9131 9163 9195 9228 9260 9293 9325 47° 6 11 16 43° 9325 9358 9391 9424 9457 9490 9523 9556 9590 9623 0,9657 46° 6 11 17 44° 9657 9691 9725 9759 9793 9827 9861 9896 9930 9965 1,0000 45° 6 11 17 45° 1,0000 0035 0070 0105 0141 0176 0212 0247 0283 0319 0355 44° 6 12 18 46° 0355 0392 0428 0464 0501 0538 0575 0612 0649 0686 0724 43° 6 12 18 47° 0724 0761 0799 0837 0875 0913 0951 0990 1028 1067 1106 42° 6 13 19 48° 1106 1145 1184 1224 1263 1303 1343 1383 1423 1463 1504 41° 7 13 20 49° 1504 1544 1585 1626 1667 1708 1750 1792 1833 1875 1,1918 40° 7 14 21 50° 1,1918 1960 2002 2045 2088 2131 2174 2218 2261 2305 2349 39° 7 14 22 51° 2349 2393 2437 2482 2527 2572 2617 2662 2708 2753 2799 38° 8 15 23 52° 2799 2846 2892 2938 2985 3032 3079 3127 3175 3222 3270 37° 8 16 24 53° 3270 3319 3367 3416 3465 3514 3564 3613 3663 3713 3764 36° 8 16 25 54° 3764 3814 3865 3916 3968 4019 4071 4124 4176 4229 1,4281 35° 9 17 26 55° 1,4281 4335 4388 4442 4496 4550 4605 4659 4715 4770 4826 34° 9 18 27 56° 4826 4882 4938 4994 5051 5108 5166 5224 5282 5340 5399 33° 10 19 29 57° 5399 5458 5517 5577 5637 5697 5757 5818 5880 5941 6003 32° 10 20 30 58° 6003 6066 6128 6191 6255 6319 6383 6447 6512 6577 6643 31° 11 21 32 59° 6643 6709 6775 6842 6909 6977 7045 7113 7182 7251 1,7321 30° 11 23 34 60° 1,732 1,739 1,746 1,753 1,760 1,767 1,775 1,782 1,789 1,797 1,804 29° 1 2 4 61° 1,804 1,811 1,819 1,827 1,834 1,842 1,849 1,857 1,865 1,873 1,881 28° 1 3 4 62° 1,881 1,889 1,897 1,905 1,913 1,921 1,929 1,937 1,946 1,954 1,963 27° 1 3 4 63° 1,963 1,971 1,980 1,988 1,997 2,006 2,014 2,023 2,032 2,041 2,05 26° 1 3 4 64° 2,050 2,059 2,069 2,078 2,087 2,097 2,106 2,116 2,125 2,135 2,145 25° 2 3 5 65° 2,145 2,154 2,164 2,174 2,184 2,194 2,204 2,215 2,225 2,236 2,246 24° 2 3 5 66° 2,246 2,257 2,267 2,278 2,289 2,3 2,311 2,322 2,333 2,344 2,356 23° 2 4 5 67° 2,356 2,367 2,379 2,391 2,402 2,414 2,426 2,438 2,450 2,463 2,475 22° 2 4 6 68° 2,475 2,488 2,5 2,513 2,526 2,539 2,552 2,565 2,578 2,592 2,605 21° 2 4 6 69° 2,605 2,619 2,633 2,646 2,66 2,675 2,689 2,703 2,718 2,733 2,747 20° 2 5 7 70° 2,747 2,762 2,778 2,793 2,808 2,824 2,840 2,856 2,872 2,888 2,904 19° 3 5 8 71° 2,904 2,921 2,937 2,954 2,971 2,989 3,006 3,024 3,042 3,06 3,078 18° 3 6 9 72° 3,078 3,096 3,115 3,133 3,152 3,172 3,191 3,211 3,230 3,251 3,271 17° 3 6 10 73° 3,271 3,291 3,312 3,333 3,354 3,376 3 7 10 3,398 3,42 3,442 3,465 3,487 16° 4 7 11 74° 3,487 3,511 3,534 3,558 3,582 3,606 4 8 12 3,630 3,655 3,681 3,706 3,732 15° 4 8 13 75° 3,732 3,758 3,785 3,812 3,839 3,867 4 9 13 3,895 3,923 3,952 3,981 4,011 14° 5 10 14 tg 60" 54" 48" 42" 36" 30" 24" 18" 12" 6" 0" ctg 1" 2" 3" Как пользоваться таблицами Брадиса
Рассмотрим таблицу Брадиса для синусов и косинусов. Все, что относится к синусам находится вверху и слева. Если нам нужны косинусы - смотрим на правую сторону внизу таблицы.
Для нахождения значений синуса угла нужно найти пересечение строки, содержащей в крайней левой ячейке необходимое количество градусов, и столбца, содержащего в верхней ячейке необходимое число минут.
Если точного значения угла нет в таблице Брадиса, прибегаем к помощи поправок. Поправки на одну, две и три минуты даны в крайних правых столбцах таблицы. Для нахождения значения синуса угла, которого нет в таблице, находим самое близкое к нему значение. После этого прибавляем или отнимаем поправку, соответствующую разнице между углами.
В случае, если мы ищем синус угла, который больше 90 градусов, сначала нужно воспользоваться формулами приведения, а уже потом - таблицей Брадиса.
Пример. Как пользоваться таблицей Брадиса
Пусть нужно найти синус угла 17 ° 44 " . По таблице находим, чему равен синус 17 ° 42 " и прибавляем к его значению поправку на две минуты:
17 ° 44 " - 17 ° 42 " = 2 " (н е о б х о д и м а я п о п р а в к а) sin 17 ° 44 " = 0 . 3040 + 0 . 0006 = 0 . 3046
Принцип работы с косинусами, тангенсами и котангенсами аналогичен. Однако, важно помнить о знаке поправок.
Важно!
При вычислении значений синусов поправка имеет положительный знак, а при вычислении косинусов поправку необходимо брать с отрицательным знаком.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter