Система трех взаимно перпендикулярных плоскостей. Проецирование на три взаимно перпендикулярные плоскости проекций. Три перпендикулярные плоскости

Система трех взаимно перпендикулярных плоскостей

Образование комплексного чертежа (эпюра)

Для удобства пользования полученными изображениями от пространственной системы плоскостей перейдем к плоскостной.

Для этого:

1. Применим способ вращения плоскости p 1 вокруг оси Х до совмещения с плоскостью p 2 (рис. 1)

2. Совмещаем плоскости p 1 и p 2 в одну плоскость чертежа (рис. 2)

Рисунок 1	Рисунок 2

Проекции А 1 и А 2 располагаются на одной линии связи перпендикулярной оси Х. Эта линия принято называть линией проекционной связи (рис. 3).

Рисунок 3

Так как плоскость проекций считается бесконечной в пространстве, то границы плоскости p 1 , p 2 можно не изображать (рис. 4).

Рисунок 4

В результате совмещения плоскостей p 1 и p 2 получается комплексный чертеж или эпюр (от франц. epure чертеж), ᴛ.ᴇ. чертеж в системе p 1 и p 2 или в системе двух плоскостей проекций. Заменив наглядное изображение эпюром, мы утратили пространственную картину расположения плоскостей проекций и точки. Но эпюр обеспечивает точность и удобоизмеряемость изображений при значительной простоте построений.

Точка, заданная в пространстве, может иметь различные положения относительно плоскостей проекций.

Построение изображений точки может быть осуществлено различными способами:

• словами (вербальное);
• графически (чертежи);
• наглядное изображение (объемное);
• плоскостное (комплексный чертеж).

Таблица 1

Пример изображения точек, принадлежащих плоскостям p 1 и p 2

Положение точки	Наглядное изображение	Комплексный чертеж	Характерные признаки
Точка А принадлежит плоскости p 1			А 1 – ниже оси Х, А 2 – на оси X
Точка B принадлежит плоскости p 1			B 1 – выше оси X, B 2 – на оси X
Точка С принадлежит плоскости p 2			С 2 – выше оси X, С 1 – на оси Х
Точка D принадлежит плоскости p 2			D 1 – на оси X, D 2 – ниже оси X
Точка Е принадлежит оси X			E 1 совпадает с E 2 и принадлежит оси X

Рисунок 1

Рассмотрим три взаимно перпендикулярные плоскости p 1 , p 2 , p 3 (рис. 1). Вертикальная плоскостьp 3 называется профильной плоскостью проекции. Пересекаясь между собой, плоскостиp 1 , p 2 , p 3 образуют оси проекций, при этом пространство делится на 8 октантов.

p 1 p 2 = x; -x

p 1 p 3 = у; -у

p 2 p 3 = z; -z

0 – точка пересечения осœей проекций.

Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси x, y, z, которые можно рассматривать как систему декартовых координат: ось Х принято называть осью абцисс, ось y – осью ординат, ось Z – осью аппликат, точка пересечения осœей, обозначаемая буквой О, есть начало координат.

Для получения комплексного чертежа применим способ вращения плоскостей p 1 и p 3 до совмещения с плоскостью p 2 . Окончательный вид всœех плоскостей в первом октанте приведен на рис. 2.

Рисунок 2

Здесь оси Оx и Оz , лежащие в неподвижной плоскости p 2 , изображены только один раз, ось Оy показана дважды. Объясняется это тем, что, вращаясь с плоскостью p 1 , ось y на эпюре совмещается с осью Оz , а вращаясь с плоскостью p 3 , эта же ось совмещается с осью Оx .

Любая точка пространства задается координатами. По знакам координат можно определить октант, в котором находится заданная точка. Для этого воспользуемся табл. 1, в которой рассмотрены знаки координат в 1–4 октантах (5–8 октанты не представлены, они имеют отрицательное значение х , а y и z повторяются).

Таблица 1

x	y	z	Октант
+	+	+	I
+	_	+	II
+	_	_	III
+	+	_	IV

Положение плоскости в пространстве определяется:

• тремя точками, не лежащими на одной прямой;
• прямой и точкой, взятой вне прямой;
• двумя пересекающимися прямыми;
• двумя параллельными прямыми;
• плоской фигурой.

В соответствии с этим на эпюре плоскость может быть задана:

• проекциями трёх точек, не лежащих на одной прямой (Рисунок 3.1,а);
• проекциями точки и прямой (Рисунок 3.1,б);
• проекциями двух пересекающихся прямых (Рисунок 3.1,в);
• проекциями двух параллельных прямых (Рисунок 3.1,г);
• плоской фигурой (Рисунок 3.1,д);
• следами плоскости;
• линией наибольшего ската плоскости.

Рисунок 3.1 – Способы задания плоскостей

Плоскость общего положения – это плоскость, которая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.

Следом плоскости называется прямая, полученная в результате пересечения заданной плоскости с одной из плоскостей проекций.

Плоскость общего положения может иметь три следа: горизонтальный – απ 1 , фронтальный – απ 2 и профильный – απ 3 , которые она образует при пересечении с известными плоскостями проекций: горизонтальной π 1 , фронтальной π 2 и профильной π 3 (Рисунок 3.2).

Рисунок 3.2 – Следы плоскости общего положения

3.2. Плоскости частного положения

Плоскость частного положения – плоскость, перпендикулярная или параллельная плоскости проекций.

Плоскость, перпендикулярная плоскости проекций, называется проецирующей и на эту плоскость проекций она будет проецироваться в виде прямой линии.

Свойство проецирующей плоскости : все точки, линии, плоские фигуры, принадлежащие проецирующей плоскости, имеют проекции на наклонном следе плоскости (Рисунок 3.3).

Рисунок 3.3 – Фронтально-проецирующая плоскость, которой принадлежат: точки А , В , С ; линии АС , АВ , ВС ; плоскость треугольника АВС

Фронтально-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, а).

Горизонтально-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, б).

Профильно-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций .

Плоскости, параллельные плоскостям проекций, называются плоскостями уровня или дважды проецирующими плоскостями .

Фронтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, в).

Горизонтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, г).

Профильная плоскость уровня – плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (Рисунок 3.4, д).

Рисунок 3.4 – Эпюры плоскостей частного положения

3.3. Точка и прямая в плоскости. Принадлежность точки и прямой плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости (Рисунок 3.5).

Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью хотя бы две общие точки (Рисунок 3.6).

Рисунок 3.5 – Принадлежность точки плоскости

α = m // n

D ∈ n ⇒ D ∈ α

Рисунок 3.6 – Принадлежность прямой плоскости

Упражнение

Дана плоскость, заданная четырехугольником (Рисунок 3.7, а). Необходимо достроить горизонтальную проекцию вершины С .

а	б

Рисунок 3.7 – Решение задачи

Решение :

1. ABCD – плоский четырехугольник, задающий плоскость.
2. Проведём в нём диагонали AC и BD (Рисунок 3.7, б), которые являются пересекающимися прямыми, также задающими ту же плоскость.
3. Согласно признаку пересекающихся прямых, построим горизонтальную проекцию точки пересечения этих прямых — K по её известной фронтальной проекции: A 2 C 2 ∩ B 2 D 2 =K 2 .
4. Восстановим линию проекционной связи до пересечения с горизонтальной проекцией прямой BD : на проекции диагонали B 1 D 1 строим К 1 .
5. Через А 1 К 1 проводим проекцию диагонали А 1 С 1 .
6. Точку С 1 получаем, посредством линии проекционной связи до пересечения её с горизонтальной проекцией продолженной диагонали А 1 К 1 .

3.4. Главные линии плоскости

В плоскости можно построить бесконечное множество прямых, но есть особые прямые, лежащие в плоскости, называемые главными линиями плоскости (Рисунок 3.8 – 3.11).

Прямой уровня или параллелью плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная одной из плоскостей проекций.

Горизонталь или горизонтальная прямая уровня h (первая параллель) – это прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (π 1) (Рисунок 3.8, а; 3.9).

Фронталь или фронтальная прямая уровня f (вторая параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (π 2) (Рисунок 3.8, б; 3.10).

Профильная прямая уровня p (третья параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная профильной плоскости проекций (π 3) (Рисунок 3.8, в; 3.11).

Рисунок 3.8 а – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.8 б – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.8 в – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.9 – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.10 – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.11 – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной следами

3.5. Взаимное положение прямой и плоскости

Прямая по отношению к заданной плоскости может быть параллельной и может с ней иметь общую точку, то есть пересекаться.

3.5.1. Параллельность прямой плоскости

Признак параллельности прямой плоскости : прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости (Рисунок 3.12).

Рисунок 3.12 – Параллельность прямой плоскости

3.5.2. Пересечение прямой с плоскостью

Для построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения (Рисунок 3.13), необходимо:

1. Заключить прямую а во вспомогательную плоскость β (в качестве вспомогательной плоскости следует выбирать плоскости частного положения);
2. Найти линию пересечения вспомогательной плоскости β с заданной плоскостью α;
3. Найти точку пересечения заданной прямой а с линией пересечения плоскостей MN .

Рисунок 3.13 – Построение точки встречи прямой с плоскостью

Упражнение

Заданы: прямая АВ общего положения, плоскость σ⊥π 1 . (Рисунок 3.14). Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью σ.

Решение :

1. Плоскость σ – горизонтально-проецирующая, следовательно, горизонтальной проекцией плоскости σ является прямая σ 1 (горизонтальный след плоскости);
2. Точка К должна принадлежать прямой АВ ⇒ К 1 ∈А 1 В 1 и заданной плоскости σ ⇒ К 1 ∈σ 1 , следовательно, К 1 находится в точке пересечения проекций А 1 В 1 и σ 1 ;
3. Фронтальную проекцию точки К находим посредством линии проекционной связи: К 2 ∈А 2 В 2 .

Рисунок 3.14 – Пересечение прямой общего положения с плоскостью частного положения

Упражнение

Заданы: плоскость σ = ΔАВС – общего положения, прямая EF (Рисунок 3.15).

Требуется построить точку пересечения прямой EF с плоскостью σ.

а	б

Рисунок 3.15 – Пересечение прямой с плоскостью

1. Заключим прямую EF во вспомогательную плоскость, в качестве которой воспользуемся горизонтально-проецирующей плоскостью α (Рисунок 3.15, а);
2. Если α⊥π 1 , то на плоскость проекций π 1 плоскость α проецируется в прямую (горизонтальный след плоскости απ 1 или α 1), совпадающую с E 1 F 1 ;
3. Найдём прямую пересечения (1-2) проецирующей плоскости α с плоскостью σ (решение подобной задачи будет рассмотрено );
4. Прямая (1-2) и заданная прямая EF лежат в одной плоскости α и пересекаются в точке K .

Алгоритм решения задачи (Рисунок 3.15, б):

Через EF проведем вспомогательную плоскость α:

3.6. Определение видимости методом конкурирующих точек

При оценке положения данной прямой, необходимо определить – точка какого участка прямой расположена ближе (дальше) к нам, как к наблюдателям, при взгляде на плоскость проекций π 1 или π 2 .

Точки, которые принадлежат разным объектам, а на одной из плоскостей проекций их проекции совпадают (то есть, две точки проецируются в одну), называются конкурирующими на этой плоскости проекций .

Необходимо отдельно определить видимость на каждой плоскости проекций.

Видимость на π 2 (рис. 3.15)

Выберем точки, конкурирующие на π 2 – точки 3 и 4. Пусть точка 3∈ВС∈σ , точка 4∈EF .

Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π 2 надо определить расположение этих точек на горизонтальной плоскости проекций при взгляде на π 2 .

Направление взгляда на π 2 показано стрелкой.

По горизонтальным проекциям точек 3 и 4, при взгляде на π 2 , видно, что точка 4 1 располагается ближе к наблюдателю, чем 3 1 .

4 1 ∈E 1 F 1 ⇒ 4∈EF ⇒ на π 2 будет видима точка 4, лежащая на прямой EF , следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена перед плоскостью σ и будет видима до точки K

Видимость на π 1

Для определения видимости выберем точки, конкурирующие на π 1 – точки 2 и 5.

Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π 1 надо определить расположение этих точек на фронтальной плоскости проекций при взгляде на π 1 .

Направление взгляда на π 1 показано стрелкой.

По фронтальным проекциям точек 2 и 5, при взгляде на π 1 , видно, что точка 2 2 располагается ближе к наблюдателю, чем 5 2 .

2 1 ∈А 2 В 2 ⇒ 2∈АВ ⇒ на π 1 будет видима точка 2, лежащая на прямой АВ , следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена под плоскостью σ и будет невидима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.

Видимой из двух конкурирующих точек будет та, у которой координата «Z» или(и) «Y» больше.

3.7. Перпендикулярность прямой плоскости

Признак перпендикулярности прямой плоскости : прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости.

а	б

Рисунок 3.16 – Задание прямой, перпендикулярной плоскости

Теорема. Если прямая перпендикулярна плоскости, то на эпюре: горизонтальная проекции прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (Рисунок 3.16, б)

Теорема доказывается через теорему о проецировании прямого угла в частном случае.

Если плоскость задана следами, то проекции прямой перпендикулярной плоскости перпендикулярны соответствующим следам плоскости (Рисунок 3.16, а).

Пусть прямая p перпендикулярна плоскости σ=ΔАВС и проходит через точку K .

1. Построим горизонталь и фронталь в плоскости σ=ΔАВС : A-1 ∈σ; A-1 //π 1 ; С-2 ∈σ; С-2 //π 2 .
2. Восстановим из точки K перпендикуляр к заданной плоскости: p 1 ⊥h 1 и p 2 ⊥f 2 , или p 1 ⊥απ 1 и p 2 ⊥απ 2

3.8. Взаимное положение двух плоскостей

3.8.1. Параллельность плоскостей

Две плоскости могут быть параллельными и пересекающимися между собой.

Признак параллельности двух плоскостей : две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Упражнение

Задана плоскость общего положения α=ΔАВС и точка F ∉α (Рисунок 3.17).

Через точку F провести плоскость β, параллельную плоскости α.

Рисунок 3.17 – Построение плоскости, параллельной заданной

Решение :

В качестве пересекающихся прямых плоскости α возьмем, например, стороны треугольника АВ и ВС.

1. Через точку F проводим прямую m , параллельную, например, АВ .
2. Через точку F , или же через любую точку, принадлежащую m , проводим прямую n , параллельную, например, ВС , причём m∩ n=F .
3. β = m ∩n и β//α по определению.

3.8.2. Пересечение плоскостей

Результатом пересечения 2-х плоскостей является прямая. Любая прямая на плоскости или в пространстве может быть однозначно задана двумя точками. Поэтому для того, чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, следует найти две точки, общие для обеих плоскостей, после чего соединить их.

Рассмотрим примеры пересечения двух плоскостей при различных способах их задания: следами; тремя точками, не лежащими на одной прямой; параллельными прямыми; пересекающимися прямыми и др.

Упражнение

Две плоскости α и β заданы следами (Рисунок 3.18). Построить линию пересечения плоскостей.

Рисунок 3.18 – Пересечение плоскостей общего положения, заданных следами

Порядок построения линии пересечения плоскостей :

1. Найти точку пересечения горизонтальных следов — это точка М (её проекции М 1 и М 2 , при этом М 1 =М , т.к. М – точка частного положения, принадлежащая плоскости π 1).
2. Найти точку пересечения фронтальных следов — это точка N (её проекции N 1 и N 2 , при этом N 2 = N , т.к. N – точка частного положения, принадлежащая плоскости π 2).
3. Построить линию пересечения плоскостей, соединив одноименные проекции полученных точек: М 1 N 1 и М 2 N 2 .

М N – линия пересечения плоскостей.

Упражнение

Задана плоскость σ = ΔАВС , плоскость α – горизонтально- проецирующая (α⊥π 1) ⇒α 1 – горизонтальный след плоскости (Рисунок 3.19).

Построить линию пересечения этих плоскостей.

Решение :

Так как плоскость α пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС , то точки пересечения K и L этих сторон с плоскостью α являются общими для обеих заданных плоскостей, что позволит, соединив их, найти искомую линию пересечения.

Точки могут быть найдены как точки пересечения прямых с проецирующей плоскостью: находим горизонтальные проекции точек K и L , то есть K 1 и L 1 , на пересечении горизонтального следа (α 1) заданной плоскости α с горизонтальными проекциями сторон ΔАВС : А 1 В 1 и A 1 C 1 . После чего посредством линий проекционной связи находим фронтальные проекции этих точек K 2 и L 2 на фронтальных проекциях прямых АВ и АС . Соединим одноимённые проекции: K 1 и L 1 ; K 2 и L 2 . Линия пересечения заданных плоскостей построена.

Алгоритм решения задачи :

KL – линия пересечения ΔАВС и σ (α∩σ = KL ).

Рисунок 3.19 – Пересечение плоскостей общего и частного положения

Упражнение

Заданы плоскости α = m//n и плоскость β = ΔАВС (Рисунок 3.20).

Построить линию пересечения заданных плоскостей.

Решение :

1. Чтобы найти точки, общие для обеих заданных плоскостей и задающие линию пересечения плоскостей α и β, необходимо воспользоваться вспомогательными плоскостями частного положения.
2. В качестве таких плоскостей выберем две вспомогательные плоскости частного положения, например: σ // τ; σ⊥π 2 ; τ⊥π 2 .
3. Вновь введённые плоскости пересекаются с каждой из заданных плоскостей α и β по прямым, параллельным друг другу, так как σ // τ:

— результатом пересечения плоскостей α, σ и τ являются прямые (4-5) и (6-7);

— результатом пересечения плоскостей β, σ и τ являются прямые (3-2) и (1-8).

1. Прямые (4-5) и (3-2) лежат в плоскости σ; точка их пересечения М одновременно лежит в плоскостях α и β, то есть на прямой пересечения этих плоскостей;
2. Аналогично находим точку N , общую для плоскостей α и β.
3. Соединив точки M и N , построим прямую пересечения плоскостей α и β.

Рисунок 3.20 – Пересечение двух плоскостей общего положения (общий случай)

Алгоритм решения задачи :

Упражнение

Заданы плоскости α = ΔАВС и β = a //b . Построить линию пересечения заданных плоскостей (Рисунок 3.21).

Рисунок 3.21 Решение задачи на пересечение плоскостей

Решение :

Воспользуемся вспомогательными секущими плоскостями частного положения. Введём их так, чтобы сократить количество построений. Например, введём плоскость σ⊥π 2 , заключив прямую a во вспомогательную плоскость σ (σ∈a ). Плоскость σ пересекает плоскость α по прямой (1-2), а σ∩β=а . Следовательно (1-2)∩а =K .

Точка К принадлежит обеим плоскостям α и β.

Следовательно, точка K , является одной из искомых точек, через которые проходит прямая пересечения заданных плоскостей α и β.

Для нахождения второй точки, принадлежащей прямой пересечения α и β, заключим прямую b во вспомогательную плоскость τ⊥π 2 (τ∈b ).

Соединив точки K и L , получим прямую пересечения плоскостей α и β.

3.8.3. Взаимно перпендикулярные плоскости

Плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

Упражнение

Задана плоскость σ⊥π 2 и прямая общего положения – DE (Рисунок 3.22)

Требуется построить через DE плоскость τ⊥σ.

Решение .

Проведём перпендикуляр CD к плоскости σ – C 2 D 2 ⊥σ 2 (на основании ).

Рисунок 3.22 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости

По теореме о проецировании прямого угла C 1 D 1 должна быть параллельна оси проекций. Пересекающиеся прямые CD∩ DE задают плоскость τ. Итак, τ⊥σ.

Аналогичные рассуждения, в случае плоскости общего положения.

Упражнение

Задана плоскость α = ΔАВС и точка K вне плоскости α.

Требуется построить плоскость β⊥α, проходящую через точку K .

Алгоритм решения (Рисунок 3.23):

1. Построим горизонталь h и фронталь f в заданной плоскости α = ΔАВС ;
2. Через точку K проведём перпендикуляр b к плоскости α (по теореме о перпендикуляре к плоскости : если прямая перпендикулярна плоскости, то её проекции перпендикулярны к наклонным проекциям горизонтали и фронтали, лежащих в плоскости: b 2 ⊥f 2 ; b 1 ⊥h 1 ;
3. Задаём плоскость β любым способом, например, β = a∩ b , таким образом, плоскость, перпендикулярная к заданной, построена: α⊥β.

Рисунок 3.23 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной ΔАВС

3.9. Задачи для самостоятельного решения

1. Задана плоскость α = m //n (Рисунок 3.24). Известно, что K ∈α.

Постройте фронтальную проекцию точки К .

Рисунок 3.24

2. Постройте следы прямой, заданной отрезком CB , и определите квадранты, через которые она проходит (Рисунок 3.25).

Рисунок 3.25

3. Постройте проекции квадрата, принадлежащего плоскости α⊥π 2 , если его диагональ MN //π 2 (Рисунок 3.26).

Рисунок 3.26

4. Построить прямоугольник ABCD с большей стороной ВС на прямой m , исходя из условия, что отношение его сторон равно 2 (Рисунок 3.27).

Рисунок 3.27

5. Задана плоскость α=a //b (Рисунок 3.28). Построить плоскость β параллельную плоскости α и удаленную от нее на расстоянии 20 мм.

Рисунок 3.28

6. Задана плоскость α=∆АВС и точка D D плоскость β⊥α и β⊥π 1 .

7. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D прямую DE //α и DE //π 1 .

10.1 Двугранный угол. Угол между плоскостями

Две пересекающиеся прямые образуют две пары вертикальных углов. Подобно тому как две пересекающиеся прямые на плоскости образуют пару вертикальных углов (рис. 89, а), так две пересекающиеся плоскости в пространстве образуют две пары вертикальных двугранных углов (рис. 89, б).

Рис. 89

Двугранным углом называют фигуру, которая состоит из двух полуплоскостей, имеющих общую граничную прямую и не лежащих в одной плоскости (рис. 90). Сами полуплоскости называют гранями двугранного угла, а их общую граничную прямую - его ребром.

Рис. 90

Измеряют двугранные углы следующим образом.

Возьмём на ребре р двугранного угла с гранями α и β точку О. Проведём из точки О в его гранях лучи а и Ь, перпендикулярные ребру р: а - в грани α и b - в грани β (рис. 91, а).

Рис. 91

Угол со сторонами а, b называется линейным углом двугранного угла.

Величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла.

Действительно, возьмём другую точку О 1 ребра р и проведём в гранях α и β лучи а 1 ⊥ р и b 1 ⊥ р (рис. 91, б).

Отложим на луче а отрезок ОА, на луче а 1 отрезок O 1 A 1 , равный отрезку ОА, на луче b отрезок ОВ и на луче b 1 отрезок О 1 В 1 , равный отрезку ОВ (рис. 91, в).

В прямоугольниках ОАА 1 О 1 и 0ВВ 1 0 1 стороны АА 1 и ВВ 1 равны их общей стороне ОО 1 и параллельны ей. Поэтому АА 1 = ВВ 1 и АА 1 || ВВ 1 .

Следовательно, четырёхугольник АВВ 1 А 1 - параллелограмм (рис. 91, г), а значит, АВ = А 1 В 1 . Поэтому треугольники АВО и А 1 В 1 O 1 равны (по трём сторонам) и угол ab равен углу a 1 b 1 .

Теперь можно дать такое определение: величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Углом между пересекающимися плоскостями называется величина меньшего из образованных ими двугранных углов. Если этот угол равен 90°, то плоскости называются взаимно перпендикулярными. Угол между параллельными плоскостями полагается равным 0°.

Угол между плоскостями α и β, как и величина двугранного угла с гранями α и β, обозначается ∠αβ.

Угол между гранями многогранника, имеющими общее ребро, - это величина соответствующего этим граням двугранного угла.

10.2 Свойства взаимно перпендикулярных плоскостей

Свойство 1 . Прямая, лежащая в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная их общей прямой, перпендикулярна другой плоскости.

Доказательство. Пусть плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой с. Пусть прямая а лежит в плоскости α и a ⊥ с (рис. 92). Прямая а пересекает с в некоторой точке О. Проведём в плоскости β через точку О прямую Ь, перпендикулярную прямой с. Так как α ⊥ β, то a ⊥ b. Так как a ⊥ b и a ⊥ с, то α ⊥ β по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Рис. 92

Второе свойство является утверждением, обратным первому свойству.

Свойство 2 . Прямая, имеющая общую точку с одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная другой плоскости, лежит в первой из них.

Доказательство. Пусть плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой с, прямая a ⊥ β и а имеет с а общую точку А (рис. 93). Через точку А проведём в плоскости α прямую р, перпендикулярную прямой с. Согласно свойству 1 р ⊥ β. Прямые а и р проходят через точку А и перпендикулярны плоскости β. Поэтому они совпадают, так как через точку проходит лишь одна прямая, перпендикулярная некоторой плоскости. Поскольку прямая р лежит в плоскости α, то и прямая а лежит в плоскости α.

Рис. 93

Следствием свойства 2 является такой признак перпендикулярности прямой и плоскости: если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости.

Доказательство. Пусть две плоскости α и β, пересекающиеся по прямой а, перпендикулярны плоскости γ (рис. 94). Тогда через любую точку прямой а проведём прямую, перпендикулярную плоскости γ. Согласно свойству 2 эта прямая лежит и в плоскости α, и в плоскости β, т. е. совпадает с прямой а. Итак, а ⊥ γ.

Рис. 94

10.3 Признак перпендикулярности плоскостей

Начнём с практических примеров. Плоскость двери, навешенной на перпендикулярный полу косяк, перпендикулярна плоскости пола при любых положениях двери (рис. 95). Когда хотят проверить, вертикально ли установлена плоская поверхность (стена, забор и т. п.), то это делают с помощью отвеса - верёвки с грузом. Отвес всегда направлен вертикально, и стена стоит вертикально, если отвес, располагаясь вдоль неё, не отклоняется. Эти примеры подсказывают нам следующий простой признак перпендикулярности плоскостей: если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны.

Рис. 95

Доказательство. Пусть плоскость α содержит прямую а, перпендикулярную плоскости β (см. рис. 92). Тогда прямая а пересекает плоскость β в некоторой точке О. Точка О лежит на прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β. Проведём в плоскости β через точку О прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как a ⊥ β, то a ⊥ b и a ⊥ с. Это означает, что линейные углы двугранных углов, образованных пересекающимися плоскостями α и β, - прямые. Поэтому плоскости α и β взаимно перпендикулярны.

Отметим, что каждые две из трёх прямых а, b и с, рассмотренных сейчас (см. рис. 92), взаимно перпендикулярны. Если же построить ещё одну прямую, проходящую через точку О и перпендикулярную двум из этих трёх прямых, то она совпадёт с третьей прямой. Этот факт говорит о трёхмерности окружающего нас пространства: четвёртой прямой, перпендикулярной каждой из прямых а, b и с, нет.

Вопросы для самоконтроля

1. Как вычисляют величину двугранного угла?
2. Как вычислить угол между плоскостями?
3. Какие плоскости называются взаимно перпендикулярными?
4. Какие свойства взаимно перпендикулярных плоскостей вы знаете?
5. Какой признак перпендикулярности плоскостей вы знаете?

Для решения данной задачи вводят систему трех взаимно перпендикулярных плоскостей, так как при составлении чертежей, например машин и их частей, требуется не два, а больше изображений. На этом основании в некоторые построения при решении задач необходимо вводить в систему p 1 , p 2 и другие плоскости проекций.

Эти плоскости делят все пространство на VIII частей, которые называются октантами (от лат. okto восемь). Плоскости не имеют толщины, непрозрачны и бесконечны. Наблюдатель находится в первой четверти (для систем p 1 , p 2) или первого октанта (для систем p 1 , p 2 , p 3) в бесконечном удалении от плоскостей проекций.

§ 6. Точка в системе p 1 , p 2 , p 3

Построение проекций некоторой точки А, расположенной в I октанте, на три взаимно перпендикулярные плоскости p 1 , p 2 , p 3 показано на рис. 2.27. Используя совмещение плоскостей проекций с плоскостью p 2 и применяя способ вращения плоскостей, получаем комплексный чертеж точки А (рис. 2.28):

АА 1 ^ p 1 ; АА 2 ^ p 2 ; АА 3 ^ p 3 ,

где А 3 – профильная проекция точки А; А Х, А y , А Z – осевые проекции точки А.

Проекции А 1 , А 2 , А 3 называются соответственно фронтальной, горизонтальной и профильной проекцией точки А.

Рис. 2.27	Рис. 2.28

Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси x, y, z, которые можно рассматривать как систему декартовых координат: ось Х называется осью абцисс, ось y – осью ординат, ось Z – осью аппликат, точка пересечения осей, обозначаемая буквой О, есть начало координат.

Так, зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте.

Для получения комплексного чертежа применим способ вращения плоскостей p 1 и p 3 (как показано на рис. 2.27) до совмещения с плоскостью p 2 . Окончательный вид всех плоскостей в первом октанте приведен на рис. 2.29.

Здесь оси Оx и Оz , лежащие в неподвижной плоскости p 2 , изображены только один раз, ось Оy показана дважды. Объясняется это тем, что, вращаясь с плоскостью p 1 , ось y на эпюре совмещается с осью Оz , а вращаясь с плоскостью p 3 , эта же ось совмещается с осью Оx .

Рассмотрим рис. 2.30, где точка пространства А , задана координатами (5,4,6). Эти координаты положительны, и сама она находится в первом октанте. Построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной модели осуществляется с помощью координатного прямоугольного параллелограмма. Для этого на осях координат откладываем отрезки, соответственно отрезкам длины: ОАх = 5, OАy = 4, OАz = 6. На этих отрезках (ОАx, ОАy, ОАz ), как на ребрах, строим прямоугольный параллелепипед. Одна из его вершин будет определять заданную точку А .

Говоря о системе трех плоскостей проекций на комплексном чертеже (рис. 2.30), необходимо отметить следующее.

Первое

1. две проекции точки принадлежат одной линии связи;

2. две проекции точки определяют положение третьей ее проекции;

3. линии связи перпендикулярны соответствующей оси проекций.

Второе

Любая точка пространства задается координатами. По знакам координат можно определить октант, в котором находится заданная точка. Для этого воспользуемся табл. 2.3, в которой рассмотрены знаки координат в 1–4 октантах (5–8 октанты не представлены, они имеют отрицательное значение х , а y и z повторяются).

Таблица 2.3

x	y	z	Октант
+	+	+	I
+	_	+	II
+	_	_	III
+	+	_	IV

Образование комплексного чертежа в системе трех плоскостей проекций осуществляется совмещением плоскостей p 1 , p 2 , p 3 (рис. 2.31).

Ось у в этом случае имеет два положения: y 1 c плоскостью p 1 , y 3 c плоскостью p 3 .

Горизонтальная и фронтальная проекции точки располагаются на линии проекционной связи, перпендикулярной оси x , фронтальная и профильная проекции – на линии проекционной связи, перпендикулярной к оси z .

А 1 А Х = А 3 А Z = АА 2 – расстояние от А до p 2

А 2 А Х = А 3 А y = АА 1 – расстояние отА до p 1

А 1 А y = А 2 А Z = АА 3 – расстояние от А до p 3

Расстояние точки от плоскости проекций измеряются аналогично отрезкам на эпюре (рис. 2.32).

При построении проекции точки в пространстве и на комплексном чертеже могут применяться различные алгоритмы.

1. Алгоритм построения наглядного изображения точки, заданной координатами (рис. 2.30):

1.1. Соотнести знаки координат x, y, z с данными табл. 2.3.

1.2. Определить четверть, в которой расположена точка.

1.3. Выполнить наглядное (аксонометрическое) изображение четверти.

1.4. Отложить координаты точки на осях А Х, А Y , А Z .

1.5. Построить проекции точки на плоскостях p 1 , p 2 , p 3.

1.6. Построить перпендикуляры к плоскостям p 1 , p 2 , p 3 в точках проекции А 1 , А 2 , А 3 .

1.7. Точка пересечения перпендикуляров есть искомая точка А.

2. Алгоритм построения комплексного чертежа точки в системе трех плоскостей проекций p 1 , p 2 , p 3 , заданной координатами (рис. 2.32)

2.1. Определить по координатам четверть, в которой расположена точка.

2.2. Определить механизм совмещения плоскостей.

2.3. Построить комплексный чертеж четверти.

2.4. Отложить координаты точки на осях x, y, z (А Х, А Y , А Z).

2.5. Построить проекции точки на комплексном чертеже.

§ 7. Комплексный чертеж и наглядное изображение точки в I–IV октантах

Рассмотрим пример построения точек А, В, С, D в различных октантах (табл. 2.4).

Таблица 2.4

Похожая информация.

При решении задач бывает недостаточно двух проекций. Поэтому вводят третью плоскость перпендикулярно плоскостям П 1 и П 2 . Ее называют профильной плоскостью (П 3 ) .

Три плоскости делят пространство на 8 частей – октантов (рис. 6). Как и прежде, будем считать, что зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте. Чтобы получить эпюр (рис. 7) любого геометрического образа плоскости П 1 и П 3 вращают, как показано на рис. 6.

Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси x , y и z , которые можно рассматривать как систему декартовых координат в пространстве с началом в точке О .

Для получения эпюра точки в системе трех плоскостей проекций плоскости П 1 и П 3 вращают до совмещения с плоскостью П 2 (рис. 8). При обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси обычно не указывают.

Для нахождения профильной проекции точки поступают следующим образом: из фронтальной проекции А 2 точки А проводят прямую перпендикулярно оси Z и на этой прямой от оси z откладывают отрезок, равный координате у точки А (рис. 9).

Рис.8 Рис. 9
Координатами называют числа, которые ставят в соответствие точке для определения ее положения в пространстве или на поверхности. В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат x , y и z (абсцисса, ордината и аппликата):

а
?
бсцисса х = ………..= …..…..= ….….. = ……….. – расстояние от точки до плоскости П 3;

ордината у = ……….= ………= …...... = ………… – расстояние от точки до плоскости П 2;

аппликата z= …….. = ………= ……..= ………… – расстояние от точки до плоскости П 1
А 1 А 2 – вертикальная линия связи, перпендикулярная оси х;

А 2 А 3 – горизонтальная линия связи, перпендикулярная оси z .
А
?
1 (….,….) Положение проекции каждой точки

А 2 (….,….) определяется двумя координатами

А 3 (….,….)
Если точка принадлежит хотя бы одной плоскости проекций, она занимает частное положение относительно плоскостей проекций. Если точка не принадлежит ни одной из плоскостей проекций, она занимает общее положение.

Лекция № 2
ПРЯМАЯ

1. Прямая. 2. Положение прямой относительно плоскостей проекций. 3. Принадлежность точки прямой. 4. Следы прямой. 5. Деление отрезка прямой в данном соотношении. 6. Определение длины отрезка прямой и углов наклона прямой к плоскостям проекций. 7. Взаимное положение прямых.
1 ПРЯМАЯ
Проекцией прямой в общем случае является прямая, за исключением случая, когда прямая перпендикулярна плоскости (рис. 10).

Чтобы построить эпюр прямой определяют координаты x , y , z двух точек прямой и переносят эти величины на чертеж.

2 ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИИ
В

зависимости от положения прямой по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

Проекция прямой общего положения меньше самой прямой.

Различают восходящую прямую – это прямая, которая по мере удаления от наблюдателя повышается (рис. 11) и нисходящую, которая понижается.

h   П 1 ; Z = const

h 2  0x признак

h 3  0у горизонтали

h 1 = h  – свойство

горизонтали

 – угол наклона прямой к

плоскости П 1

 – угол наклона прямой к

плоскости П 2

 – угол наклона прямой к

плоскости П 3


?
= 0

 = (h 1  П 2) обозначить


Рис. 12. Горизонталь
= (h 1  П 3) на чертеже

f   П 2 ; у = const

f 1  0x признак

f 3  0z фронтали

f 2 = f  – свойство фронтали

?
= 0

 = (f 2  П 1) обозначить

 = (f 2  П 3) на чертеже

Рис. 13. Фронталь

р   П 3 ; х = const

р 1  0у признак

р 2  0z профильной прямой

р 3 = р  – свойство профильной

прямой
 = 0


?
= (р 3  П 1) обозначить

 = (р 3  П 2) на чертеже

Рис. 14. Профильная прямая

а  П 1

а 2  0х признак

а 3  0у

?
=

b  П 2

b 1  0х признак

b 3  0z

?
=

c  П 3

c 1  0у признак

с 2  0z

?
=

3 ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ ПРЯМОЙ
Теорема: Если в пространстве точка принадлежит прямой, то на эпюре проекции этой точки находятся на одноименных проекциях прямой (рис. 18):

М  АВ ,

Е  АВ .
Справедлива обратная теорема :

М 1  A 1 B 1 ;

М 2  A 2 B 2  М  АВ .

4 СЛЕДЫ ПРЯМОЙ
С
?
лед – это точка пересеченная прямой с плоскостью проекций (рис. 19). Так как след принадлежит одной из плоскостей проекций, то его одна координата должна быть равна нулю.

обозначить на H = k ∩ П 1 – горизонтальный след

чертеже (рис. 19) F = k ∩ П 2 – фронтальный след

?
Р = k ∩ П 3 – профильный след

Правило построения следов:

Для построения горизонтального следа прямой ….. необходимо фронтальную проекцию ….. прямой ….. продолжить до пересечения с осью Х , затем из точки пересечения с осью Х восстановить к ней перпендикуляр, и продолжить горизонтальную ….. проекцию прямой …… до пересечения с этим перпендикуляром.

Фронтальный след строиться аналогично.

5 ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ В ДАННОМ СООТНОШЕНИИ
Из свойств параллельного проецирования известно , что если точка делит отрезок прямой в данном отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции прямой в том же соотношении.

Поэтому, чтобы некоторый отрезок разделить на эпюре в данном соотношении, надо в том же отношении разделить его проекции.

Зная это условие можно определить принадлежность точки К прямой АВ : А 2 К 2 : К 2 В 2 ¹ А 1 К 1 : К 1 В 1 Þ К Ï АВ

Пример: Чтобы разделить отрезок АВ в отношении 2: 3 из точки А 1 проведем произвольный отрезок А 1 В 0 1 разделенный на пять равных частей (рис. 20): A 1 K 0 1 = 2 частям, K 0 1 B 0 1 = 3 частям, А 1 К 0 1 : К 0 1 В 0 1 =2: 3

Соединить точку В 0 1 с точкой В 1 и проведя из точки К 0 1 прямую параллельную (В 1 В 0 1) получим проекцию точки К 1 . Согласно теореме Фалеса (Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону, то на другой стороне отложатся равные между собой отрезки) А 1 К 1: К 1 В 1 = = 2: 3, далее находим К 2 . Таким образом проекции точки К делят одноименные проекции отрезка АВ в данном отношении следовательно и точка К делит отрезок АВ в отношении 2: 3.

6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ И УГЛОВ

НАКЛОНА ПРЯМОЙ К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ
Длину отрезка АВ можно определить из прямоугольного треугольника АВС ,гдеA С  = A 1 B 1 , СB  = DZ , угол a - угол наклона отрезка к плоскости П 1 . Для этого на эпюре (рис. 21) из точки B 1 под углом 90  проводим отрезок B 1 B 1 0 = DZ , полученный в результате построений отрезок A 1 B 1 0 и будет натуральной величиной отрезка АВ , а угол B 1 A 1 B 1 0 = α . Рассмотренный метод называется методом прямоугольного треугольника . Однако все построения можно объяснить, как вращение треугольника АВС вокруг стороны AС до тех пор, пока он не станет параллелен плоскости П 1 , в этом случае треугольник проецируется на плоскость проекций без искажения. Для определения b - угла наклона отрезка к плоскости П 2 построения аналогичные (рис. 22). Только в треугольнике АВС сторона ВС  = D U и треугольник совмещается с плоскостью П 2 .

? Обозначить проекции прямой и

определить угол α.

Обозначить проекции прямой и

определить угол α.

Обозначить проекции прямой и

определить угол β.

7 ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ
Прямые в пространстве могут пересекаться, скрещиваться и быть параллельными.

1. Пересекающиеся прямые – это прямые, которые лежат в одной плоскости и имеют общую точку (a ∩ b = K ).

Теорема: Если в пространстве прямые пересекаются , то на чертеже пересекаются их одноименные проекции (рис. 23).

Точка пересечения одноименных проекций находится на одном перпендикуляре к оси Х (К 1 К 2  Ох ).

К = a ∩ b  К  a ; К  b  К 1 = a 1 ∩ b 1 ;

К 2 = a 2 ∩ b 2 .
Справедлива и обратная теорема:

Если К 1  а 1 ; К 2  b 2 , то

К 1 = а 1 ∩ b 1 ;

К 2 = а 2 ∩ b 2  К = а ∩ b .
2. Скрещивающиеся прямые – это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общей точки (рис. 24).

Пары точек 1 и 2 , лежащие на горизонтально-проецирующей прямой называются горизонтально-конкурирующими, а точки 3 и 4 – фронтально-конкурирующими. По ним определяется видимость на эпюре.

По горизонтально-конкурирующим точкам 1 и 2 определяется видимость относительно П 1 . Точка 1 ближе к глазу наблюдателя, она будет видима на плоскости П 1 . Так как точка 1 m , то прямая m будет выше прямой n .

Какая прямая будет видимой по отношению к плоскости П 2 ?
3. Параллельные прямые – это прямые, которые лежат в одной плоскости и имеют несобственную общую точку.

Теорема:

Если в пространстве прямые параллельны, то на чертеже параллельны их одноименные проекции (рис. 25).

Если k  m  k 1  m 1 , k 2  m 2 , k 3  m 3
Справедлива обратная теорема:

Если k 1  m 1 ; k 2  m 2  k  m
Лекция № 3
ПЛОСКОСТЬ

1. Способы задания плоскости на чертеже. Следы плоскости. 2. Положение плоскости относительно плоскостей проекций. 3. Принадлежность точки и прямой плоскости. 4. Главные (особые) линии плоскости.
1 СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ.

СЛЕД ПЛОСКОСТИ

Плоскость – бесконечная во все стороны линейчатая поверхность, которая на всем своем протяжении не имеет кривизны и преломления.

Плоскость на чертеже может быть задана:

1. 
   Тремя точками, не лежащими на одной прямой – Р (A , B , C ) , рис. 26.
2. 
   Прямой и точкой, не лежащей на этой прямой –Р (m , A ; A m ) , рис. 27.

   Рис. 29 Рис. 30
   Задание плоскости следами

   След плоскости – линия пересечения плоскости с плоскостью проекций (рис. 31).

   Горизонтальный след получается при пересечении плоскости Р с горизонтальной плоскостью проекций (Р П1 = Р ∩ П 1).

   Р П2 = Р ∩ П 2 – фронтальный след ;

   Р П3 = Р ∩ П 3 – профильный след ;

   Р x , Р y , Р z – точки схода следов .