Презентация к уроку "Неопределенный интеграл. Способы вычисления". Неопределенный интеграл, его свойства и вычисление. Первообразная и неопределенный интеграл Независимость от вида переменной

ГБОУ СПО « Навашинский судомеханический техникум» Неопределенный интеграл. Способы вычисления

Евдокс Книдский ок. 408 - ок. 355 год до н. э. Интегральное исчисление появилось во времена античного периода развития математической науки и началось с метода исчерпывания, который р азработан математиками Древней Греции, и представлял собой набор правил, разработанных Евдоксом Книдским. По этим правилам вычисляли площади и объёмы

Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716) Символ ∫ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa).

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) Исаак Ньютон (1643 – 1727) Ньютон и Лейбниц открыли независимо друг от друга факт, известный под названием формулы Ньютона – Лейбница.

Огюстен Луи Коши (1789 – 1857) Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 1897) Работы Коши и Вейерштрасса подвели итог многовековому развитию интегрального исчисления.

В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики: М.В. Остроградский (1801 – 1862) В.Я. Буняковский (1804 – 1889) П.Л. Чебышев (1821 – 1894)

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Неопределенным интегралом от непрерывной функции f(x) на интервале (a; b) называют любую ее первообразную функцию. Где С – произвольная постоянная (const).

1. f(x) = х n 2. f(x) = C 3. f(x)= sinx 4. f(x) = 6. f(x) = 1. F(x) = Сх+С 2. F(x) = 3. F(x) = 4. F(x) = sin x +С 5. F(x) = с tg x +С 6. F(x) = - cos x +С 5. f(x) = cosx Установить соответствие. Найти такой общий вид первообразной, которая соответствует заданной функции. tg x +С

Свойства интеграла

Основные методы интегрирования Табличный. 2.Сведение к табличному преобразованием подынтегрального выражения в сумму или разность. 3.Интегрирование с помощью замены переменной (подстановкой). 4.Интегрирование по частям.

Найти первообразные для функций: F(x) = 5 х ² + C F(x) = х ³ + C F(x) = - cos х + 5х+ C F(x) = 5 sin x + C F(x) = 2 х ³ + C F(x) = 3 x - х ² + C 1) f(x) = 10х 2) f(x) =3 х ² 3) f(x) = sin х +5 4) f(x) = 5 cos x 5) f(x) = 6 х ² 6) f(x) = 3-2х

Верно ли что: а) в) б) г)

Пример 1. Интеграл суммы выражений равен сумме интегралов этих выражений Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла

Пример 2. Проверить решение Записать решение:

Пример 3. Проверить решение Записать решение:

Пример 4 . Проверить решение Записать решение: Введем новую переменную и выразим дифференциалы:

Пример 5. Проверить решение Записать решение:

C амостоятельная работа Найти неопределенный интеграл Проверить решение Уровень «А» (на «3») Уровень «В» (на «4») Уровень «С» (на «5»)

Задание Установить соответствие. Найти такой общий вид первообразной, которая соответствует заданной функции.

Cлайд 1

Cлайд 2

Исторические сведения Интегральное исчисление возникло из потребности создать общий метод Разыскания площадей, объемов и центров тяжести. В зародышевой форме такой метод применялся ещё Архимедом. Систе- Матическое развитие он получил в 17-м веке в работах Кавальери,Торриче- лли, Фермам,Паскаля. В 1659 г. И.Барроу установил связь мемжду задачей о разыскании площади и задачей о разыскании касательной. Ньютон и Лейб- Ниц в 70-х годах 17-го века отвлекли эту связь от упомянутых частных геомет- Рических задач. Тем мсамым была установлена связь между интегральным и Дифференциальным исчислением. Эта связь была использована Ньютоном, Лейбницем и их учениками для Развития техники интегрирования. Своего нынешнего состояния методы интег- Рирования в основном достигли в работах Л.Эйлера. Труды М.В.Остроградско- Го и П.Л.Чебышева завершили развитие этих методов.

Cлайд 3

Понятие об интеграле. Пусть линия MN дана уравнением И надо найти площадь F «криволинейной трапеции aABb. Разделим отрезок ab на n частей (равных или неравных) и построим ступенчатую фигуру, показанную штриховкой на черт.1 Её площадь, её площадь равна (1) Если ввести обозначения То формула (1) примет вид (3) Искомая площадь есть предел суммы (3) при бесконечно большом n. Лейбниц ввёл для этого предела обозначение (4) В котором (курсивное s) – начальная буква слова summa (сумма), Е выражение указывает типичную форму отдельных слагае- Мых. Выражение Лейбниц стал называть интегралом – от латинско- Го слова integralis – целостный. Ж.Б.Фурье усовершенствовал обоз- Начение Лейбница, придав ему вид Здесь явно указаны начальное и конечное значе- ния x .

Cлайд 4

Связь между интегрированием и дифференцированием. Будем считать а постоянной, а b – переменной величиной. Тогда интеграл будет функцией от b . Дифференциал этой функции равен

Cлайд 5

Первообразная функция. Пусть функция есть производная от функции, Т.С. Есть дифференциал функции: Тогда функция называется первообразной для функции

Cлайд 6

Пример нахождения первообразной. Функция есть первообразная от Т.С. Есть дифференциал функции Функция является первообразной для функции

Cлайд 7

Неопределённый интеграл. Неопределённым интегралом данного выражения Называется наиболее общий вид его первообразной функции. Неопределённый интеграл выражения обозначается Выражение называется подинтегральным выражением, Функция -подинтегральной функцией, переменная x –перемен- Ной интегрирования. Разыскание неопределённого интеграла данной Функции называется интегрированием.

Первообразная. Задача дифференциального исчисления: по данной функции найти её производную. Задача интегрального исчисления: найти функцию, зная её производную. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для любого х из этого промежутка справедливо равенство F ʹ (x)=f(x).

Теорема. Если функция F(x) является первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид F(x)+C, где C R. y x 0 Геометрически: F(x)+C представляет собой семейство кривых, получаемых из каждой из них параллельным переносом вдоль оси ОУ. С интегральная кривая

Пример 2. Найти все первообразные функции f(x)=2x и изобразить их геометрически. y x

Подынтегральная функция - подынтегральное выражение - знак неопределённого интеграла х – переменная интегрирования F(x)+C – множество всех первообразных С – постоянная интегрирования Процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием, а раздел математики- интегральным исчислением.

Свойства неопределённого интеграла Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:

Основные методы интегрирования. Метод непосредственного интегрирования. Непосредственным интегрированием называется такой метод вычисления интегралов, при котором они сводятся к табличным путём применения к ним основных свойств неопределённого интеграла. При этом подынтегральную функцию обычно соответствующим образом преобразуют.